📝 题目
＊10．求下列函数的 $n$ 阶导数的一般表达式： （1）$y=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right.$ 都是常数）； （2）$y=\sin ^{2} x$ ； （3）$y=x \ln x$ ； （4）$y=x e^{x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $$ y = x^{n} + a_{1} x^{n-1} + a_{2} x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_{n} $$ 这是一个 $n$ 次多项式。求 $n$ 阶导数时，对于次数低于 $n$ 的项，求导 $n$ 次后结果为 $0$；对于 $x^n$ 项，有 $$ \frac{d^{n}}{dx^{n}} x^{n} = n! $$ 因此 $$ y^{(n)} = n! $$ 对于 $k > n$ 的阶数，$y^{(k)} = 0$。
**（2）** 已知 $$ y = \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ 则 $$ y' = \frac{1}{2} \cdot (2\sin 2x) = \sin 2x $$ 更直接地，利用公式： $$ \sin^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x $$ 求 $n$ 阶导数时，常数项导数为 $0$，而 $$ \frac{d^{n}}{dx^{n}} \cos 2x = 2^{n} \cos\!\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right) $$ 因此 $$ y^{(n)} = -\frac{1}{2} \cdot 2^{n} \cos\!\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right) = -2^{n-1} \cos\!\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right) $$ 也可写成 $$ y^{(n)} = 2^{n-1} \sin\!\left(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}\right) $$ 两者等价。
**（3）** 已知 $$ y = x \ln x $$ 先求一阶导： $$ y' = \ln x + 1 $$ 二阶导： $$ y'' = \frac{1}{x} $$ 三阶导： $$ y''' = -\frac{1}{x^{2}} $$ 四阶导： $$ y^{(4)} = \frac{2}{x^{3}} $$ 归纳可得，当 $n \ge 2$ 时， $$ y^{(n)} = (-1)^{n} \frac{(n-2)!}{x^{n-1}} $$ 对于 $n=1$，单独写为 $y' = \ln x + 1$。
**（4）** 已知 $$ y = x e^{x} $$ 利用莱布尼茨公式： $$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} $$ 取 $u = x$，$v = e^{x}$，则 $$ u' = 1,\quad u'' = 0,\quad \dots $$ 而 $v^{(m)} = e^{x}$ 对所有 $m$ 成立。 于是 $$ y^{(n)} = \binom{n}{0} x e^{x} + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot e^{x} = x e^{x} + n e^{x} = e^{x}(x + n) $$
**最终答案：** （1）$y^{(n)} = n!$，更高阶为 $0$ （2）$y^{(n)} = -2^{n-1} \cos\!\left(2x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$ （3）$y^{(n)} = \begin{cases} \ln x + 1, & n=1 \\ (-1)^{n} \dfrac{(n-2)!}{x^{n-1}}, & n \ge 2 \end{cases}$ （4）$y^{(n)} = e^{x}(x + n)$
难度：★★☆☆☆