📝 题目
＊11．求函数 $f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0) \quad(n \geqslant 3)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知函数 $$ f(x) = x^2 \ln(1+x) $$ 要求 $ f^{(n)}(0) $ 对 $ n \ge 3 $。
首先，将 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处展开为麦克劳林级数： $$ \ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k}, \quad |x|<1 $$
于是： $$ f(x) = x^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k+2} $$
令 $ m = k+2 $，则 $ k = m-2 $，当 $ k \ge 1 $ 时 $ m \ge 3 $，于是： $$ f(x) = \sum_{m=3}^{\infty} \frac{(-1)^{m-3}}{m-2} x^{m} $$
由泰勒公式，$ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处的展开为： $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} $$
对比系数，对于 $ n \ge 3 $，有： $$ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n-3}}{n-2} $$
因此： $$ f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{(-1)^{n-3}}{n-2} $$
即： $$ \boxed{f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^{n-3} n!}{n-2}, \quad n \ge 3} $$
难度：★★☆☆☆