📝 题目
1．求由下列方程所确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y^{2}-2 x y+9=0$ ； （2）$x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ ； （3）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （4）$y=1-x \mathrm{e}^{y}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的隐函数求导过程，均采用隐函数求导法，即方程两边同时对 $x$ 求导，并注意 $y$ 是 $x$ 的函数。
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### （1）$y^{2} - 2xy + 9 = 0$
两边对 $x$ 求导： $$ \displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^{2}) - 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy) + 0 = 0} $$ $$ 2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2\left( y + x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = 0 $$ 整理： $$ 2y y' - 2y - 2x y' = 0 $$ $$ (2y - 2x) y' = 2y $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y}{y - x} $$
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### （2）$x^{3} + y^{3} - 3a x y = 0$
两边对 $x$ 求导： $$ 3x^{2} + 3y^{2} y' - 3a\left( y + x y' \right) = 0 $$ 除以 3： $$ x^{2} + y^{2} y' - a y - a x y' = 0 $$ 合并含 $y'$ 的项： $$ (y^{2} - a x) y' = a y - x^{2} $$ 因此： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x} $$
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### （3）$x y = \mathrm{e}^{x+y}$
两边对 $x$ 求导（右边使用链式法则）： $$ y + x y' = \mathrm{e}^{x+y} (1 + y') $$ 将 $\mathrm{e}^{x+y} = xy$ 代入： $$ y + x y' = xy (1 + y') $$ 展开： $$ y + x y' = xy + xy \cdot y' $$ 移项： $$ x y' - xy \cdot y' = xy - y $$ $$ y'(x - xy) = y(x - 1) $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)} $$
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### （4）$y = 1 - x \mathrm{e}^{y}$
两边对 $x$ 求导： $$ y' = 0 - \left( \mathrm{e}^{y} + x \mathrm{e}^{y} y' \right) $$ 即： $$ y' = -\mathrm{e}^{y} - x \mathrm{e}^{y} y' $$ 移项： $$ y' + x \mathrm{e}^{y} y' = -\mathrm{e}^{y} $$ $$ y'(1 + x \mathrm{e}^{y}) = -\mathrm{e}^{y} $$ 因此： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\mathrm{e}^{y}}{1 + x \mathrm{e}^{y}} $$
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难度评级：★★☆☆☆ （均为标准隐函数求导，无特殊技巧，但需注意链式法则与整理步骤）