📝 题目
4．求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$ ； （2）$y=\tan (x+y)$ ； （3）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （4）$y-2 x=(x-y) \ln (x-y)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们依次求解四个小题的隐函数二阶导数。
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### （1）$b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$
**第一步：一阶导数** 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数： $$ 2b^{2}x + 2a^{2}y \cdot y' = 0 $$ 解得 $$ y' = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y} $$
**第二步：二阶导数** 对 $y'$ 再求导： $$ y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}} $$ 代入 $y'$： $$ y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y - x\left(-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\right)}{y^{2}} = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y + \frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}y}}{y^{2}} $$ 通分： $$ y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{\frac{a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2}}{a^{2}y}}{y^{2}} = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2}}{a^{2}y^{3}} $$ 由原方程 $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$，分子为 $a^{2}b^{2}$，故 $$ y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}y^{3}} = -\frac{b^{4}}{a^{2}y^{3}} $$
**答案：** $$ \boxed{y'' = -\frac{b^{4}}{a^{2}y^{3}}} $$
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### （2）$y = \tan(x+y)$
**第一步：一阶导数** 两边对 $x$ 求导： $$ y' = \sec^{2}(x+y) \cdot (1+y') $$ 记 $u = x+y$，则 $$ y' = (1+y')\sec^{2}u $$ 移项： $$ y' - y'\sec^{2}u = \sec^{2}u $$ $$ y'(1-\sec^{2}u) = \sec^{2}u $$ 因为 $1-\sec^{2}u = -\tan^{2}u$，且 $\tan u = y$，所以 $$ y'(-y^{2}) = 1+y'^{?} $$ 更准确： 由 $1-\sec^{2}u = -\tan^{2}u = -y^{2}$，得 $$ y'(-y^{2}) = \sec^{2}u $$ 而 $\sec^{2}u = 1+\tan^{2}u = 1+y^{2}$，所以 $$ - y^{2} y' = 1+y^{2} $$ 因此 $$ y' = -\frac{1+y^{2}}{y^{2}} $$
**第二步：二阶导数** 对 $y'$ 求导： $$ y'' = -\frac{2y y' \cdot y^{2} - (1+y^{2})\cdot 2y y'}{y^{4}} $$ 简化分子： $$ y'' = -\frac{2y y' (y^{2} - (1+y^{2}))}{y^{4}} = -\frac{2y y' (-1)}{y^{4}} = \frac{2y'}{y^{3}} $$ 代入 $y'$： $$ y'' = \frac{2\left(-\frac{1+y^{2}}{y^{2}}\right)}{y^{3}} = -\frac{2(1+y^{2})}{y^{5}} $$
**答案：** $$ \boxed{y'' = -\frac{2(1+y^{2})}{y^{5}}} $$
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### （3）$y = 1 + x e^{y}$
**第一步：一阶导数** 两边对 $x$ 求导： $$ y' = e^{y} + x e^{y} y' $$ 移项： $$ y' - x e^{y} y' = e^{y} $$ $$ y'(1 - x e^{y}) = e^{y} $$ 所以 $$ y' = \frac{e^{y}}{1 - x e^{y}} $$ 由原方程 $x e^{y} = y-1$，故 $$ y' = \frac{e^{y}}{1 - (y-1)} = \frac{e^{y}}{2-y} $$
**第二步：二阶导数** 对 $y'$ 求导： $$ y'' = \frac{e^{y} y' (2-y) - e^{y}(-y')}{(2-y)^{2}} = \frac{e^{y} y' (2-y + 1)}{(2-y)^{2}} = \frac{e^{y} y' (3-y)}{(2-y)^{2}} $$ 代入 $y'$： $$ y'' = \frac{e^{y} \cdot \frac{e^{y}}{2-y} \cdot (3-y)}{(2-y)^{2}} = \frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^{3}} $$
**答案：** $$ \boxed{y'' = \frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^{3}}} $$
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### （4）$y - 2x = (x-y)\ln(x-y)$
**第一步：化简** 令 $u = x-y$，则 $y = x - u$，代入： $$ x - u - 2x = u \ln u $$ $$ - x - u = u \ln u $$ 即 $$ - x = u(\ln u + 1) $$ 所以 $$ x = -u(\ln u + 1) $$ 而 $y = x - u = -u(\ln u + 1) - u = -u(\ln u + 2)$
**第二步：求导** 对 $x = -u(\ln u + 1)$ 两边对 $x$ 求导，注意 $u$ 是 $x$ 的函数： $$ 1 = -\left[ u'(\ln u + 1) + u \cdot \frac{1}{u} u' \right] = -\left[ u'(\ln u + 1) + u' \right] = -u'(\ln u + 2) $$ 所以 $$ u' = -\frac{1}{\ln u + 2} $$
**第三步：求 $y'$** 由 $y = x - u$，得 $$ y' = 1 - u' = 1 + \frac{1}{\ln u + 2} = \frac{\ln u + 3}{\ln u + 2} $$
**第四步：二阶导数** 对 $y'$ 求导： $$ y'' = \frac{ \frac{1}{u} u' (\ln u + 2) - (\ln u + 3)\cdot \frac{1}{u} u' }{(\ln u + 2)^{2}} = \frac{ \frac{u'}{u} \left[ (\ln u + 2) - (\ln u + 3) \right] }{(\ln u + 2)^{2}} = \frac{ \frac{u'}{u} \cdot (-1) }{(\ln u + 2)^{2}} $$ 代入 $u' = -\frac{1}{\ln u + 2}$： $$ y'' = \frac{ -\frac{1}{u} \cdot \left(-\frac{1}{\ln u + 2}\right) }{(\ln u + 2)^{2}} = \frac{1}{u (\ln u + 2)^{3}} $$ 最后用 $u = x-y$ 表示： $$ y'' = \frac{1}{(x-y)\left[\ln(x-y) + 2\right]^{3}} $$
**答案：** $$ \boxed{y'' = \frac{1}{(x-y)\left[\ln(x-y)+2\right]^{3}}} $$
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**难度评级**：★★★☆☆ 原因：四个小题均需隐函数求导技巧，部分涉及变量替换与化简，计算量中等，但思路常规，无特别高难技巧。