📝 题目
7．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知参数方程： $$ \begin{cases} x = e^{t} \sin t, \\ y = e^{t} \cos t, \end{cases} $$ 要求 $ t = \frac{\pi}{3} $ 时的 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$。
首先，由参数方程求导公式： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}. $$
分别计算： $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( e^{t} \sin t \right) = e^{t} \sin t + e^{t} \cos t = e^{t} (\sin t + \cos t). $$ $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( e^{t} \cos t \right) = e^{t} \cos t - e^{t} \sin t = e^{t} (\cos t - \sin t). $$
于是： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{e^{t} (\cos t - \sin t)}{e^{t} (\sin t + \cos t)} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}. $$
代入 $ t = \frac{\pi}{3} $： $$ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}. $$
所以： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \bigg|_{t = \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}. $$
有理化分母： $$ \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{-( \sqrt{3} - 1)^2}{2}. $$ 而 $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$，因此： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{-(4 - 2\sqrt{3})}{2} = -2 + \sqrt{3}. $$
因此，所求导数值为： $$ \boxed{\sqrt{3} - 2}. $$
难度：★☆☆☆☆