📝 题目
10．计算下列各根式的近似值： （1）$\sqrt[3]{996}$ ； （2）$\sqrt[6]{65}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）计算 $\sqrt[3]{996}$ 的近似值**
考虑函数 $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$，取 $x_0 = 1000$，此时 $f(1000) = 10$，且 $x = 996 = 1000 - 4$，即 $\Delta x = -4$。
先求导数： $$ f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}, \quad f'(1000) = \frac{1}{3} \cdot 1000^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{300}. $$
由微分近似公式 $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$，得 $$ \sqrt[3]{996} \approx 10 + \frac{1}{300} \cdot (-4) = 10 - \frac{4}{300} = 10 - \frac{1}{75} \approx 10 - 0.01333 = 9.98667. $$
因此近似值为 $9.9867$（保留四位小数）。
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**（2）计算 $\sqrt[6]{65}$ 的近似值**
考虑函数 $g(x) = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$，取 $x_0 = 64$，此时 $g(64) = 2$，且 $x = 65 = 64 + 1$，即 $\Delta x = 1$。
求导数： $$ g'(x) = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}}, \quad g'(64) = \frac{1}{6} \cdot 64^{-\frac{5}{6}}. $$
由于 $64^{\frac{1}{6}} = 2$，所以 $64^{\frac{5}{6}} = (2)^5 = 32$，因此 $$ g'(64) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{192}. $$
由微分近似公式： $$ \sqrt[6]{65} \approx 2 + \frac{1}{192} \cdot 1 = 2 + \frac{1}{192} \approx 2 + 0.0052083 = 2.0052083. $$
因此近似值为 $2.00521$（保留五位小数）。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及一元函数微分近似公式，计算简单，只需基本导数与四则运算）