📝 题目
3．求下列函数的微分： （1）$y=\frac{1}{x}+2 \sqrt{x}$ ； （2）$y=x \sin 2 x$ ； （3）$y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ ； （4）$y=\ln ^{2}(1-x)$ ； （5）$y=x^{2} e^{2 x}$ ； （6）$y=\mathrm{e}^{-x} \cos (3-x)$ ； （7）$y=\arcsin \sqrt{1-x^{2}}$ ； （8）$y=\tan ^{2}\left(1+2 x^{2}\right)$ ； （9）$y=\arctan \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ； （10）$s=A \sin (\omega t+\varphi) \quad(A, \omega, \varphi$ 是常数）．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**习题2-5 第3题 求下列函数的微分**
函数的微分定义为 $ dy = y' \, dx $，因此只需求出导数 $ y' $ 即可。
---
### （1）$ y = \frac{1}{x} + 2\sqrt{x} $
$$ y = x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}} $$ $$ y' = -x^{-2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} $$ $$ \boxed{dy = \left( -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx} $$
---
### （2）$ y = x \sin 2x $
使用乘积法则： $$ y' = \sin 2x + x \cdot \cos 2x \cdot 2 = \sin 2x + 2x \cos 2x $$ $$ \boxed{dy = (\sin 2x + 2x \cos 2x) \, dx} $$
---
### （3）$ y = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} $
使用商法则或改写为 $ y = x (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}} $ 用乘积法则：
$$ y' = (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}} + x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} - \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} $$ 通分： $$ = \frac{x^{2}+1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} $$ $$ \boxed{dy = \frac{1}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} \, dx} $$
---
### （4）$ y = \ln^{2}(1-x) $
链式法则： $$ y' = 2 \ln(1-x) \cdot \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{2 \ln(1-x)}{1-x} $$ $$ \boxed{dy = -\frac{2 \ln(1-x)}{1-x} \, dx} $$
---
### （5）$ y = x^{2} e^{2x} $
乘积法则： $$ y' = 2x e^{2x} + x^{2} e^{2x} \cdot 2 = 2x e^{2x} + 2x^{2} e^{2x} $$ $$ = 2x e^{2x} (1 + x) $$ $$ \boxed{dy = 2x e^{2x} (1 + x) \, dx} $$
---
### （6）$ y = e^{-x} \cos(3-x) $
乘积法则： $$ y' = -e^{-x} \cos(3-x) + e^{-x} \cdot (-\sin(3-x)) \cdot (-1) $$ 注意 $ \frac{d}{dx} \cos(3-x) = -\sin(3-x) \cdot (-1) = \sin(3-x) $，所以： $$ y' = -e^{-x} \cos(3-x) + e^{-x} \sin(3-x) $$ $$ = e^{-x} [\sin(3-x) - \cos(3-x)] $$ $$ \boxed{dy = e^{-x} [\sin(3-x) - \cos(3-x)] \, dx} $$
---
### （7）$ y = \arcsin \sqrt{1-x^{2}} $
定义域注意，先求导： $$ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1-x^{2}})^{2}}} \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{1-x^{2}} $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{1 - (1-x^{2})}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}} \cdot (-2x) $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{x^{2}}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$ 注意 $ \sqrt{x^{2}} = |x| $，因此： $$ y' = -\frac{x}{|x| \sqrt{1-x^{2}}} $$ 通常写作： $$ \boxed{dy = -\frac{x}{|x| \sqrt{1-x^{2}}} \, dx} $$
---
### （8）$ y = \tan^{2}(1+2x^{2}) $
链式法则： $$ y' = 2 \tan(1+2x^{2}) \cdot \sec^{2}(1+2x^{2}) \cdot (4x) $$ $$ = 8x \tan(1+2x^{2}) \sec^{2}(1+2x^{2}) $$ $$ \boxed{dy = 8x \tan(1+2x^{2}) \sec^{2}(1+2x^{2}) \, dx} $$
---
### （9）$ y = \arctan \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} $
令 $ u = \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} $，则： $$ y' = \frac{1}{1+u^{2}} \cdot u' $$ 先计算 $ u' $： $$ u' = \frac{-2x(1+x^{2}) - (1-x^{2})(2x)}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{-2x - 2x^{3} - 2x + 2x^{3}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}} $$ 又因为： $$ 1+u^{2} = 1 + \frac{(1-x^{2})^{2}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{(1+x^{2})^{2} + (1-x^{2})^{2}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{2 + 2x^{4}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{2(1+x^{4})}{(1+x^{2})^{2}} $$ 所以： $$ y' = \frac{1}{\frac{2(1+x^{4})}{(1+x^{2})^{2}}} \cdot \frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{(1+x^{2})^{2}}{2(1+x^{4})} \cdot \frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}} = -\frac{2x}{1+x^{4}} $$ $$ \boxed{dy = -\frac{2x}{1+x^{4}} \, dx} $$
---
### （10）$ s = A \sin(\omega t + \varphi) $
对 $ t $ 求导： $$ s' = A \cos(\omega t + \varphi) \cdot \omega $$ $$ \boxed{ds = A \omega \cos(\omega t + \varphi) \, dt} $$
---
**难度评级：★★☆☆☆** 大部分题目为基础求导与微分公式的直接应用，个别题（如第7、9题）需要小心处理复合函数与代数化简，但整体难度较低。