📝 题目
5．如图 2－13 所示的电缆 $\overparen{A O B}$ 的长为 $s$ ，跨度为 $2 l$ ，电缆的最低点 $O$ 与杆顶连线 $A B$ 的距离为 $f$ ，则电缆长可按下面公式计算
$$ s=2 l\left(1+\frac{2 f^{2}}{3 l^{2}}\right) $$
当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时，电缆长的变化约为多少？
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知电缆长度公式为： $$ s = 2l \left(1 + \frac{2 f^{2}}{3 l^{2}}\right) $$ 这里 $l$ 是常数（跨度的一半），$f$ 是变量。
当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时，电缆长的变化 $\Delta s$ 可以用微分近似计算，即： $$ \Delta s \approx ds = s'(f) \cdot \Delta f $$
首先对 $s$ 关于 $f$ 求导： $$ s(f) = 2l + \frac{4l}{3l^{2}} f^{2} = 2l + \frac{4}{3l} f^{2} $$ 因此： $$ s'(f) = \frac{8}{3l} f $$
于是电缆长的变化约为： $$ \Delta s \approx \frac{8f}{3l} \cdot \Delta f $$
所以答案为： $$ \boxed{\Delta s \approx \frac{8f}{3l} \Delta f} $$
难度评级：★☆☆☆☆ （仅需简单微分，代入公式即可）