📝 题目
＊11．计算球体体积时，要求精确度在 $2 \%$ 以内．问这时测量直径 $D$ 的相对误差不能超过多少？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知球体体积公式为 $$ V = \frac{1}{6} \pi D^{3} $$ 其中 $D$ 为直径。
要求体积的相对误差不超过 $2\%$，即 $$ \left| \frac{\Delta V}{V} \right| \le 2\% = 0.02 $$
由微分近似公式，当直径的测量误差 $\Delta D$ 较小时，体积的误差近似为 $$ \Delta V \approx dV = V'(D) \, \Delta D = \frac{1}{2} \pi D^{2} \, \Delta D $$ 因此相对误差为 $$ \frac{\Delta V}{V} \approx \frac{\frac{1}{2} \pi D^{2} \Delta D}{\frac{1}{6} \pi D^{3}} = 3 \frac{\Delta D}{D} $$
于是要求 $$ \left| 3 \frac{\Delta D}{D} \right| \le 0.02 $$ 即 $$ \left| \frac{\Delta D}{D} \right| \le \frac{0.02}{3} \approx 0.006667 $$
换算为百分数： $$ \left| \frac{\Delta D}{D} \right| \le 0.667\% $$
因此，测量直径 $D$ 的相对误差不能超过约 $0.667\%$。
难度：★★☆☆☆