📝 题目
10．设 $a\gt b\gt 0$ ，证明：$\frac{a-b}{a}\lt \ln \frac{a}{b}\lt \frac{a-b}{b}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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要证明不等式： $$ \frac{a-b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}, \quad a > b > 0. $$
**步骤1：变量代换** 令 $ t = \frac{a}{b} > 1 $，则原不等式化为： $$ \frac{t-1}{t} < \ln t < t-1. $$ 因此只需证明对任意 $ t > 1 $ 有： $$ \frac{t-1}{t} < \ln t < t-1. $$
**步骤2：证明右边不等式** 考虑函数 $ f(t) = \ln t - (t-1) $，则 $ f(1) = 0 $。 求导： $$ f'(t) = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t} < 0 \quad (t > 1). $$ 所以 $ f(t) $ 在 $ t > 1 $ 时严格递减，故 $ f(t) < f(1) = 0 $，即： $$ \ln t < t-1. $$
**步骤3：证明左边不等式** 考虑函数 $ g(t) = \ln t - \frac{t-1}{t} $，则 $ g(1) = 0 $。 求导： $$ g'(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} = \frac{t-1}{t^2} > 0 \quad (t > 1). $$ 所以 $ g(t) $ 在 $ t > 1 $ 时严格递增，故 $ g(t) > g(1) = 0 $，即： $$ \ln t > \frac{t-1}{t}. $$
**步骤4：回代** 由 $ t = \frac{a}{b} $ 得： $$ \frac{a-b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}. $$ 证毕。
难度：★★☆☆☆