📝 题目
11．证明下列不等式： （1）$|\arctan a-\arctan b| \leqslant|a-b|$ ； （2）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）证明不等式** $$ |\arctan a - \arctan b| \leqslant |a - b| $$
考虑函数 $ f(t) = \arctan t $，它在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $$ f'(t) = \frac{1}{1 + t^2}. $$ 由拉格朗日中值定理，存在介于 $a$ 与 $b$ 之间的 $\xi$，使得 $$ \arctan a - \arctan b = f'(\xi)(a - b) = \frac{1}{1 + \xi^2}(a - b). $$ 取绝对值，得 $$ |\arctan a - \arctan b| = \frac{1}{1 + \xi^2} |a - b|. $$ 由于 $\displaystyle \frac{1}{1 + \xi^2} \leqslant 1$ 对所有实数 $\xi$ 成立，故 $$ |\arctan a - \arctan b| \leqslant |a - b|. $$ 不等式得证。
**（2）证明不等式** 当 $x > 1$ 时，$\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e} x$。
考虑函数 $$ g(x) = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}x, \quad x > 1. $$ 求导得 $$ g'(x) = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}. $$ 当 $x > 1$ 时，$\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}$，所以 $g'(x) > 0$，即 $g(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上严格递增。 又 $$ g(1) = \mathrm{e}^{1} - \mathrm{e} \cdot 1 = 0, $$ 因此当 $x > 1$ 时，有 $$ g(x) > g(1) = 0, $$ 即 $$ \mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}x. $$ 不等式得证。
难度：★★☆☆☆