📝 题目
12．证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根，可以分两步进行： 第一步：证明存在正根； 第二步：证明正根的唯一性。
**第一步：存在性** 考虑函数 $$ f(x)=x^{5}+x-1, $$ 它在 $\mathbb{R}$ 上连续。计算 $$ f(0)=0^{5}+0-1=-1<0, $$ $$ f(1)=1^{5}+1-1=1>0. $$ 由连续函数的零点定理，存在 $c\in(0,1)$ 使得 $f(c)=0$，即方程至少有一个正根。
**第二步：唯一性** 计算导数： $$ f'(x)=5x^{4}+1. $$ 对于任意实数 $x$，有 $x^{4}\ge 0$，因此 $$ f'(x)=5x^{4}+1\ge 1>0, $$ 所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。 严格单调函数至多有一个零点，结合第一步已有一个正根，故该正根唯一。
综上，方程 $x^{5}+x-1=0$ 有且只有一个正根。
难度：★☆☆☆☆