📝 题目
4．试证明对函数 $y=p x^{2}+q x+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总是位于区间的正中间．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑函数 $y = p x^{2} + q x + r$，其中 $p, q, r$ 是常数且 $p \neq 0$（否则为线性函数，结论仍然成立，但二次情形更典型）。设区间为 $[a, b]$，且 $a < b$。
拉格朗日中值定理指出：若函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $$ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. $$
首先计算函数在端点处的差值： $$ f(b) - f(a) = (p b^{2} + q b + r) - (p a^{2} + q a + r) = p(b^{2} - a^{2}) + q(b - a). $$ 利用平方差公式 $b^{2} - a^{2} = (b-a)(b+a)$，得 $$ f(b) - f(a) = p(b-a)(b+a) + q(b-a) = (b-a)\big[p(a+b) + q\big]. $$
于是拉格朗日中值公式的右端为： $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = p(a+b) + q. $$
再计算函数的导数： $$ f'(x) = 2p x + q. $$
令其等于上述平均值： $$ 2p \xi + q = p(a+b) + q. $$
两边消去 $q$，得到： $$ 2p \xi = p(a+b). $$
由于 $p \neq 0$，两边除以 $2p$ 得： $$ \xi = \frac{a+b}{2}. $$
因此，对于二次函数 $y = p x^{2} + q x + r$，拉格朗日中值定理中的点 $\xi$ 总是区间的中点，即位于区间的正中间。证毕。
难度：★☆☆☆☆