📝 题目
5．不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数，说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑函数 $$ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) $$ 这是一个四次多项式，其导数为三次多项式，因此方程 $f'(x)=0$ 最多有三个实根。
函数 $f(x)$ 的零点为 $x=1,2,3,4$，且均为单根。由罗尔定理，在每两个相邻零点之间，导函数至少有一个零点。具体地：
- 在区间 $(1,2)$ 上，$f(1)=f(2)=0$，故存在 $\xi_1 \in (1,2)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$； - 在区间 $(2,3)$ 上，$f(2)=f(3)=0$，故存在 $\xi_2 \in (2,3)$ 使得 $f'(\xi_2)=0$； - 在区间 $(3,4)$ 上，$f(3)=f(4)=0$，故存在 $\xi_3 \in (3,4)$ 使得 $f'(\xi_3)=0$。
这样已经找到三个不同的实根，而三次方程最多有三个实根，因此恰好有三个实根，分别位于 $$ (1,2),\quad (2,3),\quad (3,4) $$ 内。
难度：★☆☆☆☆