📝 题目
7．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=$ 0 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知方程 $$ a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x = 0 $$ 有一个正根 $x = x_{0}$，即 $$ a_{0} x_{0}^{n} + a_{1} x_{0}^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x_{0} = 0. $$ 显然 $x=0$ 也是该方程的一个根，因为代入 $x=0$ 得左边为 0。 于是原方程有两个根：$0$ 和 $x_{0}>0$。
考虑函数 $$ f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x. $$ $f(x)$ 在 $[0, x_{0}]$ 上连续，在 $(0, x_{0})$ 内可导，且 $$ f(0) = 0, \quad f(x_{0}) = 0. $$ 由罗尔定理（Rolle’s Theorem），存在一点 $\xi \in (0, x_{0})$，使得 $$ f'(\xi) = 0. $$ 而 $$ f'(x) = a_{0} n x^{n-1} + a_{1} (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}. $$ 因此存在 $\xi \in (0, x_{0})$ 满足 $$ a_{0} n \xi^{n-1} + a_{1} (n-1) \xi^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0, $$ 即方程 $$ a_{0} n x^{n-1} + a_{1} (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0 $$ 有一个小于 $x_{0}$ 的正根 $\xi$。证毕。
难度：★★☆☆☆