📝 题目
8．若函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上具有二阶导数，且 $f(2)=0$ ，又 $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，证明在 $(1,2)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 已知 $F(x) = (x-1)^2 f(x)$，其中 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上具有二阶导数，且 $f(2)=0$。
首先计算 $F(x)$ 在端点处的值： $$ F(1) = (1-1)^2 f(1) = 0, \quad F(2) = (2-1)^2 f(2) = 1 \cdot 0 = 0. $$ 因此 $F(1) = F(2) = 0$。
由罗尔定理，存在 $\eta \in (1,2)$，使得 $$ F'(\eta) = 0. $$
再考虑 $F'(x)$ 的表达式。对 $F(x)$ 求导： $$ F'(x) = 2(x-1)f(x) + (x-1)^2 f'(x). $$ 代入 $x=1$： $$ F'(1) = 2(1-1)f(1) + (1-1)^2 f'(1) = 0. $$ 因此 $F'(1) = 0$，且已得 $F'(\eta)=0$，其中 $1 < \eta < 2$。
于是 $F'(x)$ 在 $[1, \eta]$ 上满足罗尔定理条件（$F'(1)=F'(\eta)=0$），故存在 $\xi \in (1,\eta) \subset (1,2)$，使得 $$ F''(\xi) = 0. $$
证毕。
难度：★★☆☆☆