📝 题目
＊13．设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使
$$ \left|\begin{array}{ll} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll} f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi) \end{array}\right| $$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**证明** 我们考虑构造辅助函数 $$ F(x) = \begin{vmatrix} f(a) & f(x) \\ g(a) & g(x) \end{vmatrix} = f(a)g(x) - g(a)f(x). $$ 显然，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $$ F(a) = f(a)g(a) - g(a)f(a) = 0, $$ $$ F(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix}. $$
对 $F(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $$ F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a). $$ 由于 $F(a)=0$，因此 $$ F(b) = (b-a)F'(\xi). $$
计算导数： $$ F'(x) = f(a)g'(x) - g(a)f'(x) = \begin{vmatrix} f(a) & f'(x) \\ g(a) & g'(x) \end{vmatrix}. $$ 代入 $\xi$ 得 $$ F'(\xi) = \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}. $$
于是 $$ \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix} = (b-a) \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}, $$ 证毕。
难度：★★☆☆☆