📝 题目
＊15．设函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$ ，试用柯西中值定理证明：
$$ \frac{f(x)}{x^{n}}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} \quad(0\lt \theta\lt 1) . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们使用柯西中值定理进行证明。 已知函数 $y = f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且满足 $$ f(0) = f'(0) = \cdots = f^{(n-1)}(0) = 0. $$ 要证明：存在 $\theta \in (0,1)$，使得 $$ \frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}. $$
**证明步骤：**
1. 考虑函数 $$ F(t) = f(t), \quad G(t) = t^n, $$ 在区间 $[0,x]$（若 $x>0$）或 $[x,0]$（若 $x<0$）上应用柯西中值定理。 由于 $f(0)=0$，$G(0)=0$，且 $G'(t)=n t^{n-1}$ 在 $(0,x)$ 内不为零（当 $t \neq 0$），满足柯西中值定理的条件。
2. 由柯西中值定理，存在 $\xi_1$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得 $$ \frac{f(x)-f(0)}{x^n - 0^n} = \frac{f'(\xi_1)}{n \xi_1^{n-1}}. $$ 即 $$ \frac{f(x)}{x^n} = \frac{f'(\xi_1)}{n \xi_1^{n-1}}. $$
3. 对函数 $f'(t)$ 与 $n t^{n-1}$ 在区间 $[0,\xi_1]$ 上再次应用柯西中值定理（注意 $f'(0)=0$，且 $n t^{n-1}$ 在 $t=0$ 处为0），存在 $\xi_2$ 介于 $0$ 与 $\xi_1$ 之间，使得 $$ \frac{f'(\xi_1)-f'(0)}{n \xi_1^{n-1} - 0} = \frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}. $$ 即 $$ \frac{f'(\xi_1)}{n \xi_1^{n-1}} = \frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}. $$
4. 重复上述过程，应用 $n$ 次柯西中值定理，每次降低一阶导数，直到第 $n$ 次得到：存在 $\xi_n$ 介于 $0$ 与 $\xi_{n-1}$ 之间，使得 $$ \frac{f^{(n-1)}(\xi_{n-1})}{n! \, \xi_{n-1}} = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}. $$ 注意，此时分母中 $n!$ 来自逐次乘积： $$ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1 = n!. $$
5. 由于每次得到的 $\xi_k$ 都介于 $0$ 与 $x$ 之间，我们可以令 $\theta = \frac{\xi_n}{x}$，则 $0<\theta<1$，且 $\xi_n = \theta x$。 于是得到 $$ \frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}. $$
这就完成了证明。
难度评级：★★★☆☆ （需要熟练运用多次柯西中值定理，并理解递推过程，属于中等偏上难度。）