📝 题目
3．求函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 按 $x-4$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 在 $ x_0 = 4 $ 处展开为带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式。 即展开到 $ n = 3 $ 次项，余项为第 4 阶拉格朗日余项。
**第一步：计算各阶导数** 设 $$ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $$ 则 $$ f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}, \quad f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}}, \quad f'''(x) = \frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}}, \quad f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16} x^{-\frac{7}{2}} $$
**第二步：在 $ x_0 = 4 $ 处取值** $$ f(4) = 2 $$ $$ f'(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ $$ f''(4) = -\frac{1}{4} \cdot 4^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{32} $$ $$ f'''(4) = \frac{3}{8} \cdot 4^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{256} $$
**第三步：写出泰勒公式（到 3 阶）** 泰勒公式为： $$ f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} \frac{f^{(k)}(4)}{k!}(x-4)^k + R_3(x) $$ 其中拉格朗日余项： $$ R_3(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-4)^4, \quad \xi \text{ 介于 } 4 \text{ 与 } x \text{ 之间} $$
代入数值： $$ f(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4) + \frac{-\frac{1}{32}}{2!}(x-4)^2 + \frac{\frac{3}{256}}{3!}(x-4)^3 + R_3(x) $$ 计算系数： $$ \frac{-\frac{1}{32}}{2} = -\frac{1}{64}, \quad \frac{\frac{3}{256}}{6} = \frac{3}{1536} = \frac{1}{512} $$ 因此： $$ \sqrt{x} = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac{1}{512}(x-4)^3 + R_3(x) $$
**第四步：写出余项** $$ R_3(x) = \frac{-\frac{15}{16}\xi^{-\frac{7}{2}}}{24} (x-4)^4 = -\frac{15}{384} \xi^{-\frac{7}{2}} (x-4)^4 = -\frac{5}{128} \xi^{-\frac{7}{2}} (x-4)^4 $$ 其中 $\xi$ 介于 4 与 $x$ 之间。
**最终结果**： $$ \boxed{\sqrt{x} = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac{1}{512}(x-4)^3 - \frac{5}{128}\xi^{-\frac{7}{2}}(x-4)^4} $$ 其中 $\xi$ 介于 4 与 $x$ 之间。
难度：★★☆☆☆