📝 题目
7．求函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}$ 的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $ f(x) = x e^{x} $ 的带有佩亚诺余项的 $ n $ 阶麦克劳林公式。 麦克劳林公式是泰勒公式在 $ x_0 = 0 $ 时的特例，形式为：
$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k} + o(x^{n}), \quad x \to 0. $$
**第一步：求各阶导数在 0 处的值** 已知 $ f(x) = x e^{x} $。 我们先用莱布尼茨公式求高阶导数。对于乘积 $ u(x)=x $，$ v(x)=e^{x} $，有 $$ f^{(k)}(x) = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} u^{(i)}(x) v^{(k-i)}(x). $$ 其中 $$ u(x)=x,\quad u'(x)=1,\quad u''(x)=0,\dots $$ 所以只有 $ i=0 $ 和 $ i=1 $ 项非零：
- 当 $ i=0 $：$ \binom{k}{0} x \cdot e^{x} = x e^{x} $ - 当 $ i=1 $：$ \binom{k}{1} \cdot 1 \cdot e^{x} = k e^{x} $
因此 $$ f^{(k)}(x) = x e^{x} + k e^{x} = (x + k) e^{x}. $$
代入 $ x=0 $ 得 $$ f^{(k)}(0) = (0 + k) e^{0} = k. $$
特别地，当 $ k=0 $ 时，$ f^{(0)}(0) = f(0) = 0 $，也符合公式（因为 $ k=0 $ 给出 0）。
**第二步：代入麦克劳林公式** 于是 $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k} + o(x^{n}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{k!} x^{k} + o(x^{n}). $$
注意当 $ k=0 $ 时项为 0，所以求和可以从 $ k=1 $ 开始： $$ \frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}. $$
因此 $$ f(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{(k-1)!} + o(x^{n}). $$
也可以改写指标，令 $ j = k-1 $，则 $$ f(x) = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{x^{j+1}}{j!} + o(x^{n}) = x \sum_{j=0}^{n-1} \frac{x^{j}}{j!} + o(x^{n}). $$
**最终结果** 函数 $ f(x)=x e^{x} $ 的带有佩亚诺余项的 $ n $ 阶麦克劳林公式为： $$ \boxed{x e^{x} = \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{(k-1)!} + o(x^{n})} $$ 或等价地 $$ \boxed{x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{(n-1)!} + o(x^{n})}. $$
难度：★☆☆☆☆ （直接应用莱布尼茨公式或观察 $ x e^x $ 与 $ e^x $ 展开的关系即可完成，计算简单。）