📝 题目
＊10．利用泰勒公式求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}}-\sqrt[4]{x^{4}-2 x^{3}}\right)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 求极限 $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}}-\sqrt[4]{x^{4}-2 x^{3}}\right) $$ 先提取 $x$ 因子： $$ \sqrt[3]{x^3+3x^2}=x\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}},\quad \sqrt[4]{x^4-2x^3}=x\sqrt[4]{1-\frac{2}{x}}. $$ 利用泰勒展开：当 $t\to 0$ 时， $$ (1+t)^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}t-\frac{1}{9}t^2+O(t^3), $$ $$ (1+t)^{\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{4}t-\frac{3}{32}t^2+O(t^3). $$ 令 $t=\frac{3}{x}$ 和 $t=-\frac{2}{x}$，则 $$ \sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+O\!\left(\frac{1}{x^3}\right), $$ $$ \sqrt[4]{1-\frac{2}{x}}=1-\frac{1}{2x}-\frac{3}{8x^2}+O\!\left(\frac{1}{x^3}\right). $$ 于是 $$ \sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt[4]{x^4-2x^3}=x\left[\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)-\left(1-\frac{1}{2x}-\frac{3}{8x^2}\right)+O\!\left(\frac{1}{x^3}\right)\right] $$ $$ =x\left[\frac{3}{2x}-\frac{5}{8x^2}+O\!\left(\frac{1}{x^3}\right)\right]=\frac{3}{2}-\frac{5}{8x}+O\!\left(\frac{1}{x^2}\right). $$ 因此极限为 $$ \boxed{\frac{3}{2}}. $$
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**（2）** 求极限 $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}. $$ 先展开分子： $$ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6), $$ $$ e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+O(x^6). $$ 相减得 $$ \cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}=\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)-\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\right)+O(x^6)=-\frac{x^4}{12}+O(x^6). $$ 再展开分母中的 $\ln(1-x)$： $$ \ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4), $$ 于是 $$ x+\ln(1-x)=x+\left(-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4)\right)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4). $$ 因此分母为 $$ x^2[x+\ln(1-x)]=x^2\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4)\right)=-\frac{x^4}{2}+O(x^5). $$ 故原极限 $$ \lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^4}{12}+O(x^6)}{-\frac{x^4}{2}+O(x^5)}=\frac{-\frac{1}{12}}{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}. $$ 结果为 $$ \boxed{\frac{1}{6}}. $$
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**（3）** 求极限 $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}. $$ 先展开分子中的 $\sqrt{1+x^2}$： $$ \sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+O(x^6). $$ 于是分子 $$ 1+\frac{x^2}{2}-\left(1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+O(x^6)\right)=\frac{x^4}{8}+O(x^6). $$ 再展开分母： $$ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6),\quad e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^6), $$ 相减得 $$ \cos x-e^{x^2}=\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)-\left(1+x^2+\frac{x^4}{2}\right)+O(x^6)=-\frac{3x^2}{2}-\frac{11x^4}{24}+O(x^6). $$ 而 $\sin x^2=x^2+O(x^6)$。因此分母 $$ (\cos x-e^{x^2})\sin x^2=\left(-\frac{3x^2}{2}+O(x^4)\right)(x^2+O(x^6))=-\frac{3x^4}{2}+O(x^6). $$ 于是极限 $$ \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^4}{8}+O(x^6)}{-\frac{3x^4}{2}+O(x^6)}=\frac{\frac{1}{8}}{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{12}. $$ 结果为 $$ \boxed{-\frac{1}{12}}. $$
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**（4）** 求极限 $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]. $$ 令 $t=\frac{1}{x}\to 0^+$，则原式化为 $$ \lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\ln(1+t)\right]=\lim_{t\to0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}. $$ 展开 $\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+O(t^4)$，则 $$ t-\ln(1+t)=\frac{t^2}{2}+O(t^3). $$ 因此 $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\frac{t^2}{2}+O(t^3)}{t^2}=\frac{1}{2}. $$ 结果为 $$ \boxed{\frac{1}{2}}. $$
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**难度评级**：★★★☆☆ （涉及泰勒展开到不同阶数，需细心处理符号与阶数匹配，但方法固定，属于中等难度。）