📝 题目
1．判定函数 $f(x)=\arctan x-x$ 的单调性．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们判定函数 $ f(x) = \arctan x - x $ 的单调性，首先求其导数：
$$ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1 $$
将右边通分：
$$ f'(x) = \frac{1 - (1 + x^2)}{1 + x^2} = \frac{-x^2}{1 + x^2} $$
由于分母 $1 + x^2 > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，而分子 $-x^2 \leq 0$，且仅在 $x=0$ 时等于零，因此：
- 当 $x \neq 0$ 时，$f'(x) < 0$； - 当 $x = 0$ 时，$f'(x) = 0$。
导数在 $x=0$ 处为零但不改变符号（始终非正），故函数在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递减。
因此，$f(x) = \arctan x - x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是严格单调递减函数。
难度：★☆☆☆☆