第3章 · 第3-4-10题

[AI解答]

[AI解答] 我们逐一求解各函数的二阶导数，找出二阶导数为零或不存在的点，并判断凹凸区间及拐点。

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### （1）$ y = x^{3} - 5x^{2} + 3x + 5 $

一阶导数： $$ y' = 3x^{2} - 10x + 3 $$ 二阶导数： $$ y'' = 6x - 10 $$ 令 $ y'' = 0 $： $$ 6x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{3} $$ 无二阶导数不存在的点。

- 当 $ x < \frac{5}{3} $ 时，$ y'' < 0 $，曲线是凸的（上凸）。 - 当 $ x > \frac{5}{3} $ 时，$ y'' > 0 $，曲线是凹的（下凸）。

拐点： $$ x = \frac{5}{3},\quad y\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{125}{27} - \frac{125}{9} + 5 + 5 = \frac{125 - 375}{27} + 10 = \frac{-250}{27} + \frac{270}{27} = \frac{20}{27} $$ 所以拐点为 $\left( \frac{5}{3}, \frac{20}{27} \right)$。

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### （2）$ y = x e^{-x} $

一阶导数： $$ y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x) $$ 二阶导数： $$ y'' = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} = e^{-x}(-1 + x - 1) = e^{-x}(x - 2) $$ 令 $ y'' = 0 $： $$ x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2 $$ - 当 $ x < 2 $ 时，$ y'' < 0 $，凸。 - 当 $ x > 2 $ 时，$ y'' > 0 $，凹。

拐点： $$ y(2) = 2 e^{-2} $$ 拐点 $(2, 2e^{-2})$。

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### （3）$ y = (x+1)^{4} + e^{x} $

一阶导数： $$ y' = 4(x+1)^{3} + e^{x} $$ 二阶导数： $$ y'' = 12(x+1)^{2} + e^{x} $$ 由于 $ 12(x+1)^{2} \ge 0 $，$ e^{x} > 0 $，所以 $ y'' > 0 $ 恒成立。 因此曲线在 $ (-\infty, +\infty) $ 上总是凹的，无拐点。

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### （4）$ y = \ln(x^{2} + 1) $

一阶导数： $$ y' = \frac{2x}{x^{2} + 1} $$ 二阶导数： $$ y'' = \frac{2(x^{2}+1) - 2x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x^{2} + 2 - 4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2 - 2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2(1 - x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}} $$ 令 $ y'' = 0 $： $$ 1 - x^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1 $$ - 当 $ x < -1 $ 时，$ y'' < 0 $，凸； - 当 $ -1 < x < 1 $ 时，$ y'' > 0 $，凹； - 当 $ x > 1 $ 时，$ y'' < 0 $，凸。

拐点： $$ y(\pm 1) = \ln(1+1) = \ln 2 $$ 拐点为 $(-1, \ln 2)$ 和 $(1, \ln 2)$。

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### （5）$ y = e^{\arctan x} $

一阶导数： $$ y' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} $$ 二阶导数： $$ y'' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} + e^{\arctan x} \cdot \frac{-2x}{(1+x^{2})^{2}} $$ $$ = e^{\arctan x} \cdot \frac{1 - 2x}{(1+x^{2})^{2}} $$ 令 $ y'' = 0 $： $$ 1 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2} $$ - 当 $ x < \frac{1}{2} $ 时，$ y'' > 0 $，凹； - 当 $ x > \frac{1}{2} $ 时，$ y'' < 0 $，凸。

拐点： $$ y\left(\frac{1}{2}\right) = e^{\arctan \frac{1}{2}} $$ 拐点 $\left( \frac{1}{2}, e^{\arctan \frac{1}{2}} \right)$。

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### （6）$ y = x^{4}(12\ln x - 7) $，定义域 $ x > 0 $

先化简： $$ y = 12 x^{4} \ln x - 7 x^{4} $$ 一阶导数： $$ y' = 12\left(4x^{3}\ln x + x^{4}\cdot\frac{1}{x}\right) - 28 x^{3} = 12(4x^{3}\ln x + x^{3}) - 28x^{3} $$ $$ = 48 x^{3} \ln x + 12 x^{3} - 28 x^{3} = 48 x^{3} \ln x - 16 x^{3} $$ 二阶导数： $$ y'' = 48\left(3x^{2}\ln x + x^{3}\cdot\frac{1}{x}\right) - 48 x^{2} $$ $$ = 48(3x^{2}\ln x + x^{2}) - 48 x^{2} = 144 x^{2} \ln x + 48 x^{2} - 48 x^{2} = 144 x^{2} \ln x $$ 令 $ y'' = 0 $： $$ 144 x^{2} \ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 $$ - 当 $ 0 < x < 1 $ 时，$\ln x < 0$，所以 $ y'' < 0 $，凸； - 当 $ x > 1 $ 时，$\ln x > 0$，所以 $ y'' > 0 $，凹。

拐点： $$ y(1) = 1^{4}(12\cdot 0 - 7) = -7 $$ 拐点为 $(1, -7)$。

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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考查二阶导数符号判断，计算量不大，但需注意定义域及指数、对数函数的求导细节。）