📝 题目
11．利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式： （1）$\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)\gt \left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}(x\gt 0, y\gt 0, x \neq y, n\gt 1)$ ； （2）$\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}{2}\gt \mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}(x \neq y)$ ； （3）$x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}(x\gt 0, y\gt 0, x \neq y)$ ； （4） $\sin x\gt \frac{2 x}{\pi}\left(0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们利用函数图形的凹凸性（即二阶导数符号）来证明这些不等式。 核心思想：若函数 $f(t)$ 在区间上是严格凸的，则对任意两点 $x\neq y$，有 $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+f(y)}{2}. $$ 若函数是严格凹的，则不等号反向。
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### （1）$\frac{1}{2}(x^n + y^n) > \left(\frac{x+y}{2}\right)^n,\quad x>0,y>0,x\neq y,n>1$
考虑函数 $f(t)=t^n$，定义域 $t>0$。 $$ f'(t)=n t^{n-1},\quad f''(t)=n(n-1)t^{n-2}. $$ 因为 $n>1$，所以 $n(n-1)>0$，且 $t^{n-2}>0$，故 $f''(t)>0$，函数严格凸。 由凸函数性质： $$ \frac{f(x)+f(y)}{2} > f\left(\frac{x+y}{2}\right), $$ 即 $$ \frac{x^n+y^n}{2} > \left(\frac{x+y}{2}\right)^n. $$ 证毕。
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### （2）$\frac{e^x+e^y}{2} > e^{\frac{x+y}{2}},\quad x\neq y$
取 $f(t)=e^t$，则 $$ f'(t)=e^t,\quad f''(t)=e^t>0, $$ 所以 $f(t)$ 严格凸。于是 $$ \frac{e^x+e^y}{2} > e^{\frac{x+y}{2}}. $$ 证毕。
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### （3）$x\ln x + y\ln y > (x+y)\ln\frac{x+y}{2},\quad x>0,y>0,x\neq y$
考虑 $f(t)=t\ln t$，定义域 $t>0$。 $$ f'(t)=\ln t + 1,\quad f''(t)=\frac{1}{t}>0, $$ 所以 $f(t)$ 严格凸。由凸性： $$ \frac{f(x)+f(y)}{2} > f\left(\frac{x+y}{2}\right), $$ 即 $$ \frac{x\ln x + y\ln y}{2} > \frac{x+y}{2}\ln\frac{x+y}{2}. $$ 两边乘以 2，得 $$ x\ln x + y\ln y > (x+y)\ln\frac{x+y}{2}. $$ 证毕。
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### （4）$\sin x > \frac{2x}{\pi},\quad 0 考虑函数 $f(x)=\sin x$ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上。 $$ f''(x)=-\sin x < 0 \quad (0 --- 难度评级：★★☆☆☆ （主要考察凸凹性定义及简单求导，思路直接，计算量小）