📝 题目
15．试决定 $y=k\left(x^{2}-3\right)^{2}$ 中 $k$ 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $$ y = k (x^2 - 3)^2 $$ 首先求一阶导数和二阶导数，以确定拐点位置。
令 $$ y' = k \cdot 2(x^2 - 3) \cdot 2x = 4k x (x^2 - 3) $$ 再求二阶导： $$ y'' = 4k \left[ (x^2 - 3) + x \cdot 2x \right] = 4k \left( x^2 - 3 + 2x^2 \right) = 4k (3x^2 - 3) = 12k (x^2 - 1) $$
令 $y'' = 0$ 得 $$ 12k (x^2 - 1) = 0 $$ 若 $k \neq 0$，则 $$ x^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1 $$ 检查符号变化：当 $x<-1$ 时 $x^2-1>0$，$-1
拐点坐标为： $$ x=1 \Rightarrow y = k(1-3)^2 = k \cdot 4 = 4k $$ $$ x=-1 \Rightarrow y = k(1-3)^2 = 4k $$ 所以两个拐点为 $(1, 4k)$ 和 $(-1, 4k)$。
在拐点处法线通过原点，即法线斜率为 $\frac{y-0}{x-0} = \frac{y}{x}$。 法线与切线垂直，切线斜率为 $y'(1)$ 或 $y'(-1)$。
计算切线斜率： $$ y'(1) = 4k \cdot 1 \cdot (1-3) = 4k \cdot (-2) = -8k $$ $$ y'(-1) = 4k \cdot (-1) \cdot (1-3) = 4k \cdot (-1) \cdot (-2) = 8k $$
法线斜率应为切线斜率的负倒数： 对于 $(1,4k)$，法线斜率为 $$ \frac{1}{8k} $$ 但法线过原点，斜率也可表示为 $\frac{4k}{1} = 4k$，因此 $$ 4k = \frac{1}{8k} \quad\Rightarrow\quad 32k^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}} $$
对于 $(-1,4k)$，法线斜率为 $$ -\frac{1}{8k} $$ 而由原点连线斜率为 $\frac{4k}{-1} = -4k$，得 $$ -4k = -\frac{1}{8k} \quad\Rightarrow\quad 4k = \frac{1}{8k} \quad\Rightarrow\quad 32k^2 = 1 $$ 同样得到 $$ k = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}} $$
因此 $k$ 的值为 $$ \boxed{k = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}}} $$
难度：★★☆☆☆