📝 题目
2．判定函数 $f(x)=x+\cos x$ 的单调性．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要判定函数 $ f(x) = x + \cos x $ 的单调性，首先计算其导数：
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x + \cos x) = 1 - \sin x. $$
由于对任意实数 $ x $，有 $$ -1 \leq \sin x \leq 1, $$ 因此 $$ 1 - \sin x \geq 0, $$ 且等号仅在 $\sin x = 1$ 时成立，即当 $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}. $$ 在这些孤立点上导数为零，其余所有点导数均大于零。
根据函数单调性的判定定理：若函数在区间上可导且导数非负，且不在任何子区间上恒为零，则函数在该区间上严格单调递增。因此，$ f(x) = x + \cos x $ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。
难度：★☆☆☆☆