📝 题目
3．确定下列函数的单调区间： （1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x-7$ ； （2）$y=2 x+\frac{8}{x} \quad(x\gt 0)$ ； （3）$y=\frac{10}{4 x^{3}-9 x^{2}+6 x}$ ； （4）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ； （5）$y=(x-1)(x+1)^{3}$ ； （6）$y=\sqrt[3]{(2 x-a)(a-x)^{2}} \quad(a\gt 0)$ ； （7）$y=x^{n} \mathrm{e}^{-x} \quad(n\gt 0, x \geqslant 0)$ ； （8）$y=x+|\sin 2 x|$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐一求导并判断单调区间。
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### （1）$y=2x^3-6x^2-18x-7$
求导： $$ y' = 6x^2 - 12x - 18 = 6(x^2 - 2x - 3) = 6(x-3)(x+1) $$ 令 $y'=0$ 得 $x=-1,\;x=3$。
符号分析： - 当 $x<-1$，$y'>0$，函数单调递增； - 当 $-1
单调区间： $$ (-\infty,-1] \uparrow,\quad [-1,3] \downarrow,\quad [3,+\infty) \uparrow $$
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### （2）$y=2x+\frac{8}{x},\;x>0$
求导： $$ y' = 2 - \frac{8}{x^2} = \frac{2x^2-8}{x^2} = \frac{2(x^2-4)}{x^2} $$ 令 $y'=0$ 得 $x=2$（$x>0$）。
符号： - $0
单调区间： $$ (0,2] \downarrow,\quad [2,+\infty) \uparrow $$
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### （3）$y=\frac{10}{4x^3-9x^2+6x}$
记分母 $g(x)=4x^3-9x^2+6x = x(4x^2-9x+6)$。 判别式 $\Delta=81-96<0$，所以二次因子恒正，分母零点仅 $x=0$。
求导（用商法则或复合）： $$ y' = -10 \cdot \frac{g'(x)}{[g(x)]^2} $$ 其中 $$ g'(x)=12x^2-18x+6 = 6(2x^2-3x+1)=6(2x-1)(x-1) $$ 因此 $$ y' = -\frac{60(2x-1)(x-1)}{[g(x)]^2} $$ 分母平方恒正，符号由分子决定。
令 $y'=0$ 得 $x=\frac12,\;x=1$。注意定义域 $x\neq0$。
符号分析（注意负号）： - $x<0$：$(2x-1)<0,\;(x-1)<0$，乘积正，加负号得负，递减； - $0
单调区间： $$ (-\infty,0)\downarrow,\;(0,\tfrac12]\downarrow,\;[\tfrac12,1]\uparrow,\;[1,+\infty)\downarrow $$
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### （4）$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
求导： $$ y' = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} >0 $$ 导数恒正，定义域 $\mathbb{R}$，故在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增。
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### （5）$y=(x-1)(x+1)^3$
求导： $$ y' = (x+1)^3 + (x-1)\cdot 3(x+1)^2 = (x+1)^2[(x+1)+3(x-1)] = (x+1)^2(4x-2) $$ 即 $$ y' = 2(2x-1)(x+1)^2 $$ 令 $y'=0$ 得 $x=-1$（二重根，符号不变），$x=\frac12$。
符号： - $x<\frac12,\;x\neq-1$：$(2x-1)<0$，$(x+1)^2\ge0$，故 $y'<0$（除 $x=-1$ 处为零）； - $x>\frac12$：$y'>0$。
因此单调递减区间 $(-\infty,\frac12]$，单调递增区间 $[\frac12,+\infty)$。 点 $x=-1$ 不影响单调性。
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### （6）$y=\sqrt[3]{(2x-a)(a-x)^2},\;a>0$
设 $y=[(2x-a)(a-x)^2]^{1/3}$。 先对内部函数 $u=(2x-a)(a-x)^2$ 求导：
令 $u=(2x-a)(a-x)^2$，则 $$ u' = 2(a-x)^2 + (2x-a)\cdot 2(a-x)(-1) = 2(a-x)^2 -2(2x-a)(a-x) $$ 提取 $2(a-x)$： $$ u' = 2(a-x)[(a-x) - (2x-a)] = 2(a-x)(a-x-2x+a) = 2(a-x)(2a-3x) $$ 于是 $$ y' = \frac13 u^{-2/3} \cdot u' = \frac{2(a-x)(2a-3x)}{3\,u^{2/3}} $$ 分母恒正（除零点外），符号由分子决定。
零点：$x=a,\;x=\frac{2a}{3}$。注意定义域全体实数（奇次根号）。
符号分析： - $x<\frac{2a}{3}$：$(a-x)>0,\;(2a-3x)>0$，乘积正，$y'>0$，递增； - $\frac{2a}{3}
单调区间： $$ (-\infty,\tfrac{2a}{3}] \uparrow,\quad [\tfrac{2a}{3},a] \downarrow,\quad [a,+\infty) \uparrow $$
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### （7）$y=x^n e^{-x},\;n>0,\;x\ge0$
求导： $$ y' = n x^{n-1}e^{-x} - x^n e^{-x} = x^{n-1}e^{-x}(n-x) $$ 令 $y'=0$ 得 $x=n$（$x=0$ 可能为边界）。
符号： - $0\le x
单调区间： $$ [0,n] \uparrow,\quad [n,+\infty) \downarrow $$
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### （8）$y=x+|\sin 2x|$
函数含绝对值，需分区间。 $\sin 2x \ge 0$ 当 $2x\in[2k\pi,\;(2k+1)\pi]$，即 $x\in[k\pi,\;k\pi+\frac{\pi}{2}]$； $\sin 2x <0$ 时，$x\in(k\pi+\frac{\pi}{2},\;(k+1)\pi)$。
在 $\sin 2x\ge0$ 区间： $$ y = x+\sin 2x,\quad y' = 1+2\cos 2x $$ 令 $y'=0$ 得 $\cos 2x = -\frac12$，即 $2x = \frac{2\pi}{3}+2k\pi$ 或 $\frac{4\pi}{3}+2k\pi$， 即 $x = \frac{\pi}{3}+k\pi$ 或 $x=\frac{2\pi}{3}+k\pi$。 但需落在 $\sin 2x\ge0$ 区间内： - $x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ 在区间 $[k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}]$ 内（因为 $\frac{\pi}{3}<\