📝 题目
8．设 $I$ 为任一无穷区间，函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$I$ 内可导．试证明：如果 $f(x)$ 在 $I$ 的任一有限的子区间上 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$（或 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ），且等号仅在有限多个点处成立，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加 （或单调减少）．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设 $I$ 为无穷区间，$f(x)$ 在 $I$ 上连续，在 $I$ 内可导。 我们只证 $f'(x) \ge 0$ 且等号仅在有限多个点处成立时，$f(x)$ 在 $I$ 上严格单调增加的情形；另一情形同理可证。
任取 $x_1, x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$。考虑闭区间 $[x_1, x_2]$，它是 $I$ 的一个有限子区间。由题设，在此区间上 $f'(x) \ge 0$ 几乎处处成立，且等号只在有限个点处成立，记这些点为 $$ c_1, c_2, \dots, c_m \in (x_1, x_2) $$ （端点处是否为零不影响结论）。
将区间 $[x_1, x_2]$ 分成若干子区间： $$ [x_1, c_1],\; [c_1, c_2],\; \dots,\; [c_m, x_2] $$ 在每个子区间内部，$f'(x) > 0$ 恒成立（因为等号只在分界点处出现）。由拉格朗日中值定理，在每个子区间上函数严格单调增加。例如在 $[c_k, c_{k+1}]$ 上，对任意 $u
将各段连接起来，可知在 $[x_1, x_2]$ 上，$f$ 是严格递增的，特别地 $f(x_1) < f(x_2)$。
由 $x_1 < x_2$ 的任意性，$f(x)$ 在 $I$ 上严格单调增加。
同理，若 $f'(x) \le 0$ 且等号仅在有限个点成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调减少。
**证毕。**
难度：★★☆☆☆