📝 题目
10．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20 m 长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设小屋与墙壁垂直的两边长度为 $x$ 米，平行于墙壁的一边长度为 $y$ 米。由于一面靠墙，不需砌砖，因此实际需要砌的墙壁总长度为： $$ 2x + y = 20 $$ 小屋的面积为： $$ S = x \cdot y $$ 由约束条件 $y = 20 - 2x$，代入面积公式得： $$ S(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^{2} $$ 定义域由实际意义决定：$x > 0$，且 $y = 20 - 2x > 0$，即 $0 < x < 10$。
对 $S(x)$ 求导： $$ S'(x) = 20 - 4x $$ 令导数为零： $$ 20 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 5 $$ 此时 $y = 20 - 2 \times 5 = 10$。
二阶导数 $S''(x) = -4 < 0$，说明 $x = 5$ 处取得极大值，也是最大值。
因此，当垂直于墙壁的两边长为 5 米，平行于墙壁的一边长为 10 米时，小屋面积最大，最大面积为： $$ S_{\max} = 5 \times 10 = 50 \ \text{平方米} $$
难度：★☆☆☆☆