📝 题目
18．已知制作一个背包的成本为 40 元．如果每一个背包的售出价格为 $x$ 元，售出的背包数由
$$ n=\frac{a}{x-40}+b(80-x) $$
给出，其中 $a, b$ 为正常数．问什么样的售出价格能带来最大利润？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求利润最大化的价格。设售出价格为 $x$ 元，成本为 40 元/个，则每个背包的利润为 $x-40$ 元。售出数量为
$$ n = \frac{a}{x-40} + b(80-x) $$
其中 $a>0, b>0$，且显然 $x>40$ 才有意义，同时从表达式看 $x<80$ 时第二项为正，因此合理范围是 $40 < x < 80$。
总利润函数为
$$ P(x) = (x-40) \cdot n = (x-40)\left[ \frac{a}{x-40} + b(80-x) \right] $$
化简：
$$ P(x) = a + b(x-40)(80-x) $$
展开二次项：
$$ P(x) = a + b\left[ -(x-40)(x-80) \right] $$
注意 $(x-40)(80-x) = -(x-40)(x-80)$，也可以直接展开：
$$ (x-40)(80-x) = 80x - x^2 - 3200 + 40x = -x^2 + 120x - 3200 $$
因此
$$ P(x) = a + b(-x^2 + 120x - 3200) $$
即
$$ P(x) = -b x^2 + 120b x - 3200b + a $$
这是一个开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得。顶点横坐标
$$ x = -\frac{120b}{2(-b)} = \frac{120b}{2b} = 60 $$
因此，售价为 $x=60$ 元时利润最大。
检查是否在定义域内：$40<60<80$，有效。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （仅需简单代数化简与二次函数极值，无复杂积分或极限运算）