📝 题目
4．设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0, f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，证明： （1）当 $n$ 为奇数时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处不取得极值； （2）当 $n$ 为偶数时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极值，且当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)\lt 0$ 时，$f\left(x_{0}\right)$ 为极大值，当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)\gt 0$时，$f\left(x_{0}\right)$ 为极小值．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 由于 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，由带 Peano 余项的 Taylor 公式，对 $x$ 在 $x_0$ 附近有 $$ f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o\big((x-x_0)^n\big). $$ 由题设条件 $f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$，且 $f^{(n)}(x_0) \neq 0$，上式化为 $$ f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o\big((x-x_0)^n\big). $$ 记 $A = \displaystyle{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}} \neq 0$，则 $$ f(x) - f(x_0) = A (x-x_0)^n + o\big((x-x_0)^n\big). $$
（1）当 $n$ 为奇数时，$(x-x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧符号相反。因为 $A \neq 0$，所以当 $x$ 从左侧趋近 $x_0$ 与从右侧趋近 $x_0$ 时，$f(x)-f(x_0)$ 的符号相反，故 $f(x_0)$ 不是极值。
（2）当 $n$ 为偶数时，$(x-x_0)^n \geq 0$ 恒成立，且仅在 $x=x_0$ 处为零。于是 $f(x)-f(x_0)$ 的符号完全由 $A$ 决定： - 若 $f^{(n)}(x_0) < 0$，则 $A < 0$，故在 $x_0$ 附近（$x \neq x_0$）有 $f(x)-f(x_0) < 0$，即 $f(x) < f(x_0)$，所以 $f(x_0)$ 为极大值； - 若 $f^{(n)}(x_0) > 0$，则 $A > 0$，故在 $x_0$ 附近（$x \neq x_0$）有 $f(x)-f(x_0) > 0$，即 $f(x) > f(x_0)$，所以 $f(x_0)$ 为极小值。
证毕。
难度：★★☆☆☆