📝 题目
3．$y=\mathrm{e}^{-(x-1)^{2}}$ ；
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数 $ y = e^{-(x-1)^2} $ 的导数。这是一个复合函数，外层是指数函数 $ e^u $，内层是 $ u = -(x-1)^2 $。
**步骤1：识别复合结构** 令 $$ u = -(x-1)^2 $$ 则 $$ y = e^{u} $$
**步骤2：分别求导** 对 $ y = e^u $ 关于 $ u $ 求导： $$ \frac{dy}{du} = e^u $$ 对 $ u = -(x-1)^2 $ 关于 $ x $ 求导： 先展开 $ u = -(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1 $， $$ \frac{du}{dx} = -2x + 2 = -2(x-1) $$ 或者直接用链式法则： $$ \frac{d}{dx} \left[ -(x-1)^2 \right] = -2(x-1) \cdot 1 = -2(x-1) $$
**步骤3：应用链式法则** $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \left[ -2(x-1) \right] $$ 代回 $ u = -(x-1)^2 $： $$ \frac{dy}{dx} = e^{-(x-1)^2} \cdot \left[ -2(x-1) \right] $$
**步骤4：整理结果** $$ \boxed{y' = -2(x-1) e^{-(x-1)^2}} $$
难度：★☆☆☆☆ （仅需一次链式法则，属于基础求导题）