📝 题目
3．求抛物线 $y=x^{2}-4 x+3$ 在其顶点处的曲率及曲率半径．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知抛物线方程为 $$ y = x^{2} - 4x + 3. $$ 首先求顶点坐标。将方程配方： $$ y = (x-2)^{2} - 1, $$ 因此顶点为 $(2, -1)$。
曲率公式为 $$ K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^{2}\right)^{3/2}}. $$ 先求一阶导数： $$ y' = 2x - 4. $$ 在顶点 $x=2$ 处： $$ y'(2) = 0. $$ 再求二阶导数： $$ y'' = 2, $$ 为常数，因此在顶点处也有 $$ y''(2) = 2. $$
代入曲率公式： $$ K = \frac{|2|}{\left(1 + 0^{2}\right)^{3/2}} = 2. $$ 曲率半径为曲率的倒数： $$ R = \frac{1}{K} = \frac{1}{2}. $$
因此，抛物线在顶点处的曲率为 $2$，曲率半径为 $\displaystyle\frac{1}{2}$。
难度：★★☆☆☆