📝 题目
7．一飞机沿抛物线路径 $y=\frac{x^{2}}{10000}(y$ 轴铅直向上，单位为 m$)$ 做俯冲飞行．在坐标原点 $O$ 处飞机的速度为 $v=200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．飞行员体重 $G=70 \mathrm{~kg}$ ．求飞机俯冲至最低点即原点 $O$ 处时座椅对飞行员的反力．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先明确题意：飞机沿抛物线 $y = \frac{x^{2}}{10000}$ 俯冲，在原点 $O$ 处速度 $v = 200\ \mathrm{m/s}$，飞行员质量 $m = 70\ \mathrm{kg}$，要求最低点（即原点）处座椅对飞行员的反力。由于是俯冲最低点，该点曲率半径最小，法向加速度最大，反力由重力和向心力合成。
**步骤1：计算抛物线在原点处的曲率半径**
曲线 $y = f(x)$ 的曲率公式为： $$ K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^{2})^{3/2}} $$ 曲率半径 $\rho = \frac{1}{K}$。
给定： $$ y = \frac{x^{2}}{10000} $$ 一阶导数： $$ y' = \frac{2x}{10000} = \frac{x}{5000} $$ 二阶导数： $$ y'' = \frac{1}{5000} $$
在原点 $x=0$ 处： $$ y'(0) = 0,\quad y''(0) = \frac{1}{5000} $$ 因此曲率： $$ K = \frac{\left| \frac{1}{5000} \right|}{(1+0)^{3/2}} = \frac{1}{5000} $$ 曲率半径： $$ \rho = \frac{1}{K} = 5000\ \mathrm{m} $$
**步骤2：计算最低点处的法向加速度**
飞机在最低点做圆周运动（近似），法向加速度： $$ a_n = \frac{v^{2}}{\rho} $$ 代入 $v = 200\ \mathrm{m/s}$，$\rho = 5000\ \mathrm{m}$： $$ a_n = \frac{200^{2}}{5000} = \frac{40000}{5000} = 8\ \mathrm{m/s^{2}} $$
**步骤3：受力分析并求反力**
在最低点，飞行员受到重力 $mg$ 向下，座椅支持力 $N$ 向上，合力提供向上的向心加速度（因为曲率中心在正上方，俯冲最低点法向向上）： $$ N - mg = m a_n $$ 所以： $$ N = m(g + a_n) $$ 取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^{2}}$，$m = 70\ \mathrm{kg}$： $$ N = 70 \times (9.8 + 8) = 70 \times 17.8 = 1246\ \mathrm{N} $$
若取 $g = 10\ \mathrm{m/s^{2}}$ 近似： $$ N = 70 \times 18 = 1260\ \mathrm{N} $$
**最终答案**（取 $g=9.8$）： $$ \boxed{1246\ \mathrm{N}} $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及曲率半径计算与圆周运动受力分析，步骤清晰，计算简单，属于中等偏易题型。）