📝 题目
＊6．证明曲线 $y=a \operatorname{ch} \frac{x}{a}$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率半径为 $\frac{y^{2}}{a}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明曲线 $ y = a \operatorname{ch} \frac{x}{a} $ 在任意点 $(x, y)$ 处的曲率半径为 $\frac{y^2}{a}$，我们使用曲率半径公式。
首先，曲线方程是 $$ y = a \cosh\left( \frac{x}{a} \right) $$ 其中 $\cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$。
**第一步：求一阶导数** $$ y' = \frac{dy}{dx} = a \cdot \sinh\left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} = \sinh\left( \frac{x}{a} \right) $$ 因此 $$ y' = \sinh\left( \frac{x}{a} \right) $$
**第二步：求二阶导数** $$ y'' = \frac{d}{dx} \sinh\left( \frac{x}{a} \right) = \cosh\left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cosh\left( \frac{x}{a} \right) $$
**第三步：曲率公式** 曲率 $K$ 为 $$ K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}} $$ 代入 $y'$ 和 $y''$： $$ 1 + (y')^2 = 1 + \sinh^2\left( \frac{x}{a} \right) = \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right) $$ 因为恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$，所以 $1 + \sinh^2 t = \cosh^2 t$。
于是 $$ \left(1 + (y')^2\right)^{3/2} = \left( \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right) \right)^{3/2} = |\cosh\left( \frac{x}{a} \right)|^3 $$ 由于 $\cosh t > 0$ 对所有实数 $t$ 成立，因此可以直接去掉绝对值： $$ = \cosh^3\left( \frac{x}{a} \right) $$
而 $$ |y''| = \frac{1}{a} \cosh\left( \frac{x}{a} \right) $$ 因此曲率 $$ K = \frac{\frac{1}{a} \cosh\left( \frac{x}{a} \right)}{\cosh^3\left( \frac{x}{a} \right)} = \frac{1}{a \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right)} $$
**第四步：曲率半径** 曲率半径 $R$ 是曲率的倒数： $$ R = \frac{1}{K} = a \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right) $$ 但由原曲线方程 $y = a \cosh\left( \frac{x}{a} \right)$，可得 $$ \cosh\left( \frac{x}{a} \right) = \frac{y}{a} $$ 因此 $$ \cosh^2\left( \frac{x}{a} \right) = \frac{y^2}{a^2} $$ 代入得 $$ R = a \cdot \frac{y^2}{a^2} = \frac{y^2}{a} $$ 证毕。
难度：★★☆☆☆