📝 题目
1．试证明方程 $x^{3}-3 x^{2}+6 x-1=0$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：证明方程在区间(0,1)内有唯一实根**
设函数 $$ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6x - 1. $$ 首先计算区间端点函数值： $$ f(0) = -1 < 0, \quad f(1) = 1 - 3 + 6 - 1 = 3 > 0. $$ 由连续函数的介值定理，在 $(0,1)$ 内至少存在一个实根。
再求导数： $$ f'(x) = 3x^{2} - 6x + 6 = 3(x^{2} - 2x + 2) = 3[(x-1)^{2} + 1] > 0 \quad (\forall x \in \mathbb{R}). $$ 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，故在 $(0,1)$ 内至多有一个实根。
综上，方程在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。
**步骤2：用二分法求近似根，误差不超过0.01**
记区间 $[a,b]$，初始取 $a_0=0,\ b_0=1$，根记为 $r$。 二分法每次取中点 $c_n = \frac{a_n + b_n}{2}$，若 $f(c_n)=0$ 则停止；否则根据符号更新区间。 误差满足 $|c_n - r| \le \frac{b_n - a_n}{2}$，要求 $\frac{b_n - a_n}{2} \le 0.01$，即区间长度 $\le 0.02$。
初始区间长度 $1$，每次二分长度减半，需要满足 $$ \frac{1}{2^{n}} \le 0.02 \quad \Rightarrow \quad 2^{n} \ge 50 \quad \Rightarrow \quad n \ge 6 \ (\text{因为 }2^{5}=32<50,\ 2^{6}=64>50). $$ 因此至少二分6次。
计算过程如下：
- 第1次：$a_0=0,\ b_0=1$，中点 $c_1=0.5$， $f(0.5)=0.125 - 0.75 + 3 - 1 = 1.375 > 0$， 取新区间 $[0,\ 0.5]$。
- 第2次：$a_1=0,\ b_1=0.5$，中点 $c_2=0.25$， $f(0.25)=0.015625 - 0.1875 + 1.5 - 1 = 0.328125 > 0$， 取新区间 $[0,\ 0.25]$。
- 第3次：$a_2=0,\ b_2=0.25$，中点 $c_3=0.125$， $f(0.125)=0.001953125 - 0.046875 + 0.75 - 1 = -0.294921875 < 0$， 取新区间 $[0.125,\ 0.25]$。
- 第4次：$a_3=0.125,\ b_3=0.25$，中点 $c_4=0.1875$， $f(0.1875)=0.006591796875 - 0.10546875 + 1.125 - 1 = 0.026123046875 > 0$， 取新区间 $[0.125,\ 0.1875]$。
- 第5次：$a_4=0.125,\ b_4=0.1875$，中点 $c_5=0.15625$， $f(0.15625)=0.003814697265625 - 0.0732421875 + 0.9375 - 1 = -0.131927490234375 < 0$， 取新区间 $[0.15625,\ 0.1875]$。
- 第6次：$a_5=0.15625,\ b_5=0.1875$，中点 $c_6=0.171875$， $f(0.171875)=0.005077362060546875 - 0.088623046875 + 1.03125 - 1 = -0.052295684814453125 < 0$， 取新区间 $[0.171875,\ 0.1875]$。
此时区间长度为 $0.015625 < 0.02$，满足误差要求。 取中点作为近似根： $$ r \approx 0.171875 \quad (\text{或四舍五入为 } 0.17). $$ 误差不超过 $\frac{0.015625}{2}=0.0078125 < 0.01$。
**最终答案**： 方程在 $(0,1)$ 内有唯一实根，近似值为 $\boxed{0.172}$（取三位小数）或 $\boxed{0.17}$（保留两位小数）。
难度：★★☆☆☆