📝 题目
3．用割线法求方程 $x^{3}+3 x-1=0$ 的近似根，使误差不超过 0.01 ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们使用**割线法**（Secant Method）求解方程 $$ f(x)=x^{3}+3x-1=0 $$ 的近似根，要求误差不超过 $0.01$。
**第一步：确定初始近似值** 先观察函数值符号： $$ f(0) = -1 < 0, \quad f(1) = 1+3-1 = 3 > 0 $$ 因此在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根。取初始近似值 $$ x_0 = 0,\quad x_1 = 1 $$
**第二步：割线法迭代公式** 割线法公式为 $$ x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} $$
**第三步：逐次迭代**
- 第1次迭代： $$ f(x_0)=f(0)=-1,\quad f(x_1)=f(1)=3 $$ $$ x_2 = 1 - 3\cdot\frac{1-0}{3-(-1)} = 1 - 3\cdot\frac{1}{4} = 1 - 0.75 = 0.25 $$ 误差估计：$|x_2-x_1| = 0.75 > 0.01$，继续。
- 第2次迭代： $$ f(x_1)=3,\quad f(x_2)=f(0.25)=0.25^3+0.75-1 = 0.015625+0.75-1 = -0.234375 $$ $$ x_3 = 0.25 - (-0.234375)\cdot\frac{0.25-1}{-0.234375-3} $$ 先算分母：$-0.234375-3 = -3.234375$ 分子差：$0.25-1 = -0.75$ 因此 $$ x_3 = 0.25 - (-0.234375)\cdot\frac{-0.75}{-3.234375} = 0.25 - (-0.234375)\cdot 0.231884... $$ 计算乘积：$0.234375 \times 0.231884 \approx 0.054347$ 所以 $$ x_3 \approx 0.25 + 0.054347 = 0.304347 $$ 误差：$|x_3-x_2| \approx 0.0543 > 0.01$，继续。
- 第3次迭代： $$ f(x_2) = -0.234375,\quad f(x_3) = 0.304347^3 + 3\times 0.304347 - 1 $$ 先算 $0.304347^2 \approx 0.092627$，再乘 $0.304347$ 得 $0.028191$ 加上 $3\times 0.304347 = 0.913041$，总和为 $0.028191+0.913041-1 = -0.058768$ $$ x_4 = 0.304347 - (-0.058768)\cdot\frac{0.304347-0.25}{-0.058768 - (-0.234375)} $$ 分子差：$0.304347-0.25 = 0.054347$ 分母差：$-0.058768+0.234375 = 0.175607$ 比值：$\frac{0.054347}{0.175607} \approx 0.3095$ 因此 $$ x_4 \approx 0.304347 + 0.058768\times 0.3095 \approx 0.304347 + 0.018188 \approx 0.322535 $$ 误差：$|x_4-x_3| \approx 0.0182 > 0.01$，继续。
- 第4次迭代： $$ f(x_3) \approx -0.058768,\quad f(x_4)=0.322535^3+3\times 0.322535-1 $$ 先算 $0.322535^2 \approx 0.104029$，再乘 $0.322535$ 得 $0.033553$ 加上 $0.967605$ 得 $1.001158$，减1得 $0.001158$ $$ x_5 = 0.322535 - 0.001158\cdot\frac{0.322535-0.304347}{0.001158 - (-0.058768)} $$ 分子差：$0.018188$ 分母差：$0.059926$ 比值：$\frac{0.018188}{0.059926} \approx 0.3035$ 因此 $$ x_5 \approx 0.322535 - 0.001158\times 0.3035 \approx 0.322535 - 0.000351 \approx 0.322184 $$ 误差：$|x_5-x_4| \approx 0.00035 < 0.01$，满足精度。
**第四步：结果** 满足误差不超过 0.01 的近似根为 $$ \boxed{0.322} $$ （四舍五入到小数点后三位）
难度评级：★★☆☆☆ （涉及割线法迭代公式与简单数值计算，步骤固定，计算量适中）