📝 题目
4．求方程 $x \lg x=1$ 的近似根，使误差不超过 0.01 ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们需要求解方程 $$ x \lg x = 1 $$ 的近似根，误差不超过 0.01。这里 $\lg x$ 表示以 10 为底的对数，即 $\log_{10} x$。
**第一步：确定根的存在区间** 考虑函数 $$ f(x) = x \lg x - 1 $$ 定义域为 $x>0$。 计算一些值： - $f(2) = 2 \cdot \lg 2 - 1 \approx 2 \cdot 0.3010 - 1 = -0.398 < 0$ - $f(3) = 3 \cdot \lg 3 - 1 \approx 3 \cdot 0.4771 - 1 = 0.4313 > 0$
由零点定理，在区间 $(2, 3)$ 内至少有一个根。 又因为导数 $$ f'(x) = \lg x + \frac{1}{\ln 10} > 0 \quad (x>1) $$ 所以函数单调递增，因此根唯一。
**第二步：二分法求近似根** 我们要求误差不超过 0.01，即区间长度 $\leq 0.02$ 时停止，取中点作为近似根。
初始区间 $[a, b] = [2, 3]$，长度 $1$。
1. 中点 $x_1 = \frac{2+3}{2} = 2.5$ $f(2.5) = 2.5 \cdot \lg 2.5 - 1$ $\lg 2.5 = \lg \frac{5}{2} = \lg 5 - \lg 2 \approx 0.6990 - 0.3010 = 0.3980$ 所以 $f(2.5) \approx 2.5 \cdot 0.3980 - 1 = 0.995 - 1 = -0.005 < 0$ 根在 $(2.5, 3)$。
2. 中点 $x_2 = \frac{2.5+3}{2} = 2.75$ $\lg 2.75 = \lg \frac{11}{4} = \lg 11 - \lg 4 \approx 1.0414 - 0.6021 = 0.4393$ $f(2.75) \approx 2.75 \cdot 0.4393 - 1 \approx 1.2081 - 1 = 0.2081 > 0$ 根在 $(2.5, 2.75)$。
3. 中点 $x_3 = \frac{2.5+2.75}{2} = 2.625$ $\lg 2.625 = \lg \frac{21}{8} = \lg 21 - \lg 8 \approx 1.3222 - 0.9031 = 0.4191$ $f(2.625) \approx 2.625 \cdot 0.4191 - 1 \approx 1.1001 - 1 = 0.1001 > 0$ 根在 $(2.5, 2.625)$。
4. 中点 $x_4 = \frac{2.5+2.625}{2} = 2.5625$ $\lg 2.5625 = \lg \frac{41}{16} = \lg 41 - \lg 16 \approx 1.6128 - 1.2041 = 0.4087$ $f(2.5625) \approx 2.5625 \cdot 0.4087 - 1 \approx 1.0473 - 1 = 0.0473 > 0$ 根在 $(2.5, 2.5625)$。
5. 中点 $x_5 = \frac{2.5+2.5625}{2} = 2.53125$ $\lg 2.53125 = \lg \frac{81}{32} = \lg 81 - \lg 32 \approx 1.9085 - 1.5051 = 0.4034$ $f(2.53125) \approx 2.53125 \cdot 0.4034 - 1 \approx 1.0211 - 1 = 0.0211 > 0$ 根在 $(2.5, 2.53125)$。
此时区间长度 $2.53125 - 2.5 = 0.03125 > 0.02$，继续。
6. 中点 $x_6 = \frac{2.5+2.53125}{2} = 2.515625$ $\lg 2.515625 = \lg \frac{161}{64}$，近似计算： $\lg 2.515625 \approx \lg 2.5 + \frac{0.015625}{2.5 \cdot \ln 10}$，但直接查表或近似： $\lg 2.5156 \approx 0.4007$（更精确：$\lg 2.515625 \approx 0.4007$） $f(2.515625) \approx 2.515625 \cdot 0.4007 - 1 \approx 1.0080 - 1 = 0.0080 > 0$ 根在 $(2.5, 2.515625)$。
此时区间长度 $2.515625 - 2.5 = 0.015625 < 0.02$，满足精度要求。
取中点作为近似根： $$ x \approx \frac{2.5 + 2.515625}{2} = 2.5078125 $$
因此，方程的近似根为 $x \approx 2.51$（保留两位小数）。
**最终答案**： $$ \boxed{2.51} $$
难度：★★☆☆☆