📝 题目
2．求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ ； （4） $\displaystyle{\int} x \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x}}$ ； （6） $\displaystyle{\int} \sqrt[m]{x^{n}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} 5 x^{3} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}-3 x+2\right) \mathrm{d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} h}{\sqrt{2 g h}}$（ $g$ 是常数）； （10） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+1\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)\left(\sqrt{x^{3}}-1\right) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{(1-x)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int}\left(2 \mathrm{e}^{x}+\frac{3}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} 3^{x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \sec x(\sec x-\tan x) \mathrm{d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \cos ^{2} \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\cos 2 x}$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos x-\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos ^{2} x \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int} \cot ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \cos \theta(\tan \theta+\sec \theta) \mathrm{d} \theta$ ； （25） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{4}+2 x^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
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以下为各题详细解答过程，使用基本积分公式与代数变形。
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**(1)** $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}$
解： $$ \int x^{-2} \mathrm{d}x = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C. $$
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**(2)** $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$
解： $$ x\sqrt{x} = x^{1} \cdot x^{1/2} = x^{3/2}, $$ $$ \int x^{3/2} \mathrm{d}x = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C. $$
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**(3)** $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$
解： $$ \int x^{-1/2} \mathrm{d}x = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C. $$
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**(4)** $\displaystyle{\int} x \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x$
解： $$ x \cdot x^{1/3} = x^{4/3}, $$ $$ \int x^{4/3} \mathrm{d}x = \frac{x^{7/3}}{7/3} + C = \frac{3}{7} x^{7/3} + C. $$
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**(5)** $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x}}$
解： $$ \frac{1}{x^{2} \cdot x^{1/2}} = x^{-5/2}, $$ $$ \int x^{-5/2} \mathrm{d}x = \frac{x^{-3/2}}{-3/2} + C = -\frac{2}{3} x^{-3/2} + C = -\frac{2}{3x^{3/2}} + C. $$
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**(6)** $\displaystyle{\int} \sqrt[m]{x^{n}} \mathrm{~d} x$
解： $$ \sqrt[m]{x^{n}} = x^{n/m}, $$ $$ \int x^{n/m} \mathrm{d}x = \frac{x^{n/m + 1}}{n/m + 1} + C = \frac{x^{(n+m)/m}}{(n+m)/m} + C = \frac{m}{n+m} x^{(n+m)/m} + C. $$
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**(7)** $\displaystyle{\int} 5 x^{3} \mathrm{~d} x$
解： $$ 5 \int x^{3} \mathrm{d}x = 5 \cdot \frac{x^{4}}{4} + C = \frac{5}{4} x^{4} + C. $$
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**(8)** $\displaystyle{\int}\left(x^{2}-3 x+2\right) \mathrm{d} x$
解： $$ \int x^{2} \mathrm{d}x - 3\int x \mathrm{d}x + 2\int \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C. $$
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**(9)** $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} h}{\sqrt{2 g h}}$（$g$ 是常数）
解： $$ \frac{1}{\sqrt{2g}} \int h^{-1/2} \mathrm{d}h = \frac{1}{\sqrt{2g}} \cdot 2 h^{1/2} + C = \sqrt{\frac{2h}{g}} + C. $$
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**(10)** $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+1\right)^{2} \mathrm{~d} x$
解：展开 $$ (x^{2}+1)^{2} = x^{4} + 2x^{2} + 1, $$ $$ \int (x^{4}+2x^{2}+1) \mathrm{d}x = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2}{3}x^{3} + x + C. $$
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**(11)** $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)\left(\sqrt{x^{3}}-1\right) \mathrm{d} x$
解： $$ \sqrt{x^{3}} = x^{3/2}, $$ 展开： $$ (\sqrt{x}+1)(x^{3/2}-1) = x^{2} - \sqrt{x} + x^{3/2} - 1, $$ 即： $$ x^{2} + x^{3/2} - x^{1/2} - 1, $$ 积分： $$ \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5/2}}{5/2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} - x + C = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} - x + C. $$
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**(12)** $\displaystyle{\int} \frac{(1-x)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
解：展开 $$ (1-x)^{2} = 1 - 2x + x^{2}, $$ 除以 $\sqrt{x}$： $$ x^{-1/2} - 2x^{1/2} + x^{3/2}, $$ 积分： $$ 2x^{1/2} - 2\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} + C = 2\sqrt{x} - \frac{4}{3}x^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} + C. $$
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**(13)** $\displaystyle{\int}\left(2 \mathrm{e}^{x}+\frac{3}{x}\right) \mathrm{d} x$
解： $$ 2\int e^{x} \mathrm{d}x + 3\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = 2e^{x} + 3\ln|x| + C. $$
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**(14)** $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$
解： $$ 3\int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x - 2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d}x = 3\arctan x - 2\arcsin x + C. $$
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**(15)** $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x$
解：展开 $$ e^{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}, $$ 积分： $$ e^{x} - 2\sqrt{x} + C. $$
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**(16)** $\displaystyle{\int} 3^{x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$
解： $$ 3^{x}e^{x} = (3e)^{x}, $$ $$ \int (3e)^{x} \mathrm{d}x = \frac{(3e)^{x}}{\ln(3e)} + C = \frac{3^{x}e^{x}}{1+\ln 3} + C. $$
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**(17)** $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$
解：化简 $$ 2 - 5\left(\frac{2}{3}\right)^{x}, $$ 积分： $$ 2x - 5 \cdot \frac{(2/3)^{x}}{\ln(2/3)} + C = 2x - \frac{5(2/3)^{x}}{\ln 2 - \ln 3} + C. $$
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**(18)** $\displaystyle{\int} \sec x(\sec x-\tan x) \mathrm{d} x$
解：展开 $$ \sec^{2}x - \sec x \tan x, $$ 积分： $$ \tan x - \sec x + C. $$
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**(19)** $\displaystyle{\int} \cos ^{2} \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$
解：用半角公式 $$ \cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}, $$ 积分： $$ \frac{1}{2}\int (1+\cos x) \mathrm{d}x = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C. $$
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**(20)** $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\cos 2 x}$
解： $$ 1+\cos 2x = 2\cos^{2}x, $$ $$ \int \frac{1}{2\cos^{2}x} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \sec^{2}x \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\tan x