📝 题目
3．含有末知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 为末知函数的导数， $f(x)$ 为已知函数．如果将函数 $y=\varphi(x)$ 代人微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数 $y=\varphi(x)$ 就称为该微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x-2)^{2},\left.\quad y\right|_{x=2}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=\frac{2}{t^{3}},\left.\quad \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=1}=1,\left.x\right|_{t=1}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 给定微分方程 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = (x-2)^{2} $$ 初始条件： $$ \left. y \right|_{x=2} = 0 $$ 直接积分得： $$ y = \int (x-2)^{2} \, \mathrm{d}x $$ 令 $u = x-2$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，积分得： $$ y = \int u^{2} \, \mathrm{d}u = \frac{u^{3}}{3} + C = \frac{(x-2)^{3}}{3} + C $$ 代入初始条件 $x=2$ 时 $y=0$： $$ 0 = \frac{(2-2)^{3}}{3} + C \quad\Rightarrow\quad C = 0 $$ 因此解为： $$ \boxed{y = \frac{(x-2)^{3}}{3}} $$
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**（2）** 给定二阶微分方程 $$ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}} = \frac{2}{t^{3}} $$ 初始条件： $$ \left. \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \right|_{t=1} = 1,\quad \left. x \right|_{t=1} = 1 $$ 先对两边积分一次，得到一阶导数： $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = \int \frac{2}{t^{3}} \, \mathrm{d}t = 2 \int t^{-3} \, \mathrm{d}t = 2 \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C_{1} = -\frac{1}{t^{2}} + C_{1} $$ 代入条件 $\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=1}=1$： $$ 1 = -\frac{1}{1^{2}} + C_{1} \quad\Rightarrow\quad C_{1} = 2 $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = -\frac{1}{t^{2}} + 2 $$ 再积分一次： $$ x = \int \left( -\frac{1}{t^{2}} + 2 \right) \mathrm{d}t = \int -t^{-2} \, \mathrm{d}t + \int 2 \, \mathrm{d}t = \frac{1}{t} + 2t + C_{2} $$ 代入条件 $x(1)=1$： $$ 1 = \frac{1}{1} + 2\cdot 1 + C_{2} \quad\Rightarrow\quad 1 = 1 + 2 + C_{2} \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -2 $$ 因此解为： $$ \boxed{x = \frac{1}{t} + 2t - 2} $$
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难度：★☆☆☆☆