📝 题目
5．一曲线通过点 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲线方程为 $ y = f(x) $。由题意，在任一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于该点横坐标的倒数，即 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}. $$ 这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边积分得 $$ y = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C, $$ 其中 $C$ 为积分常数。
已知曲线经过点 $(\mathrm{e}^{2}, 3)$，代入得 $$ 3 = \ln(\mathrm{e}^{2}) + C = 2 + C, $$ 所以 $$ C = 1. $$
因此曲线方程为 $$ y = \ln |x| + 1. $$ 由于横坐标 $\mathrm{e}^{2} > 0$，且一般考虑 $x>0$，可去掉绝对值，得 $$ \boxed{y = \ln x + 1}. $$
难度：★☆☆☆☆