📝 题目
1．在下列各式等号右端的横线处填人适当的系数，使等式成立（例如： $\left.\mathrm{d} x=\frac{1}{4} \mathrm{~d}(4 x+7)\right)$ ： （1） $\mathrm{d} x=\_\mathrm{d}(a x)(a \neq 0)$ ； （2） $\mathrm{d} x=\_\mathrm{d}(7 x-3)$ ； （3）$x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(x^{2}\right)$ ； （4）$x \mathrm{~d} x=\ldots \mathrm{d}\left(5 x^{2}\right)$ ； （5）$x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(1-x^{2}\right)$ ； （6）$x^{3} \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(3 x^{4}-2\right)$ ； （7） $\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=-\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ ； （8） $\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right)$ ； （9） $\sin \frac{3}{2} x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(\cos \frac{3}{2} x\right)$ ； （10）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\_\mathrm{d}(5 \ln |x|)$ ； （11）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\ldots \mathrm{d}(3-5 \ln |x|)$ ； （12）$\frac{\mathrm{d} x}{1+9 x^{2}}=-\mathrm{d}(\arctan 3 x)$ ； （13）$\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\mathrm{d}(1-\arcsin x)$ ； （14）$\frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\mathrm{d}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细推导过程，填入适当的系数，使微分等式成立。
（1） 已知 $\mathrm{d}(ax) = a\,\mathrm{d}x$，所以 $$ \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\,\mathrm{d}(ax) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{a}}$。
（2） $\mathrm{d}(7x-3) = 7\,\mathrm{d}x$，因此 $$ \mathrm{d}x = \frac{1}{7}\,\mathrm{d}(7x-3) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{7}}$。
（3） $\mathrm{d}(x^2) = 2x\,\mathrm{d}x$，所以 $$ x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}(x^2) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
（4） $\mathrm{d}(5x^2) = 10x\,\mathrm{d}x$，因此 $$ x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{10}\,\mathrm{d}(5x^2) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{10}}$。
（5） $\mathrm{d}(1-x^2) = -2x\,\mathrm{d}x$，所以 $$ x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\,\mathrm{d}(1-x^2) $$ 故填 $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$。
（6） $\mathrm{d}(3x^4-2) = 12x^3\,\mathrm{d}x$，因此 $$ x^3\,\mathrm{d}x = \frac{1}{12}\,\mathrm{d}(3x^4-2) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{12}}$。
（7） $\mathrm{d}(\mathrm{e}^{2x}) = 2\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$，所以 $$ \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}(\mathrm{e}^{2x}) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
（8） $\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right) = -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\mathrm{d}x$，因此 $$ \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\mathrm{d}x = -2\,\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right) $$ 故填 $\displaystyle{-2}$。
（9） $\mathrm{d}\left(\cos\frac{3}{2}x\right) = -\frac{3}{2}\sin\frac{3}{2}x\,\mathrm{d}x$，所以 $$ \sin\frac{3}{2}x\,\mathrm{d}x = -\frac{2}{3}\,\mathrm{d}\left(\cos\frac{3}{2}x\right) $$ 故填 $\displaystyle{-\frac{2}{3}}$。
（10） $\mathrm{d}(5\ln|x|) = \frac{5}{x}\,\mathrm{d}x$，因此 $$ \frac{\mathrm{d}x}{x} = \frac{1}{5}\,\mathrm{d}(5\ln|x|) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{5}}$。
（11） $\mathrm{d}(3-5\ln|x|) = -\frac{5}{x}\,\mathrm{d}x$，所以 $$ \frac{\mathrm{d}x}{x} = -\frac{1}{5}\,\mathrm{d}(3-5\ln|x|) $$ 故填 $\displaystyle{-\frac{1}{5}}$。
（12） $\mathrm{d}(\arctan 3x) = \frac{3}{1+9x^2}\,\mathrm{d}x$，因此 $$ \frac{\mathrm{d}x}{1+9x^2} = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}(\arctan 3x) $$ 故填 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$。
（13） $\mathrm{d}(1-\arcsin x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$，所以 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = -\,\mathrm{d}(1-\arcsin x) $$ 故填 $\displaystyle{-1}$。
（14） $\mathrm{d}\left(\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$，因此 $$ \frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = -\,\mathrm{d}\left(\sqrt{1-x^2}\right) $$ 故填 $\displaystyle{-1}$。
难度：★☆☆☆☆