📝 题目
2．求下列不定积分（其中 $a, b, \omega, \varphi$ 均为常数）： （1） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{5 t} \mathrm{~d} t$ ； （2） $\displaystyle{\int}(3-2 x)^{3} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1-2 x}$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{2-3 x}}$ ； （5） $\displaystyle{\int}\left(\sin a x-\mathrm{e}^{\frac{x}{b}}\right) \mathrm{d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ； （7） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} x \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\sqrt{2-3 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{3}}{1-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \sin (\omega t+\varphi) \mathrm{d} t$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \tan ^{10} x \cdot \sec ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x \ln \ln x}$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{(\arcsin x)^{2} \sqrt{1-x^{2}}}$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{10^{2 \arccos x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \tan \sqrt{1+x^{2}} \cdot \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （20） $\displaystyle{\int} \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sin x \cos x}$ ； （23） $\displaystyle{\int} \frac{\ln \tan x}{\cos x \sin x} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \cos ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \mathrm{d} t$ ； （26） $\displaystyle{\int} \sin 2 x \cos 3 x \mathrm{~d} x$ ； （27） $\displaystyle{\int} \cos x \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （28） $\displaystyle{\int} \sin 5 x \sin 7 x \mathrm{~d} x$ ； （29） $\displaystyle{\int} \tan ^{3} x \sec x \mathrm{~d} x$ ； （30） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ； （31） $\displaystyle{\int} \frac{1-x}{\sqrt{9-4 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （32） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{9+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （33） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2 x^{2}-1}$ ； （34） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{(x+1)(x-2)}$ ； （35） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{2}-x-2} \mathrm{~d} x$ ； （36） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2} \mathrm{~d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(a\gt 0)$ ； （37） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ； （38） $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{3}}}$ ； （39） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （40） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{2 x}}$ ； （41） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （42） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （43） $\displaystyle{\int} \frac{x-1}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ； （44） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答过程，使用第一类换元法（凑微分法）或基本积分公式求解。
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（1） $$ \int e^{5t} dt = \frac{1}{5} e^{5t} + C $$
（2） $$ \int (3-2x)^3 dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(3-2x)^4}{4} + C = -\frac{(3-2x)^4}{8} + C $$
（3） $$ \int \frac{dx}{1-2x} = -\frac{1}{2} \ln|1-2x| + C $$
（4） $$ \int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-3x}} = \int (2-3x)^{-1/3} dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2-3x)^{2/3}}{2/3} + C = -\frac{1}{2} (2-3x)^{2/3} + C $$
（5） $$ \int \left( \sin ax - e^{x/b} \right) dx = -\frac{\cos ax}{a} - b e^{x/b} + C $$
（6） $$ \int \frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} dt = 2 \int \sin \sqrt{t} \, d(\sqrt{t}) = -2 \cos \sqrt{t} + C $$
（7） $$ \int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} \int e^{-x^2} d(-x^2) = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C $$
（8） $$ \int x \cos(x^2) dx = \frac{1}{2} \int \cos(x^2) d(x^2) = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C $$
（9） $$ \int \frac{x}{\sqrt{2-3x^2}} dx = -\frac{1}{6} \int (2-3x^2)^{-1/2} d(2-3x^2) = -\frac{1}{3} \sqrt{2-3x^2} + C $$
（10） $$ \int \frac{3x^3}{1-x^4} dx = -\frac{3}{4} \int \frac{d(1-x^4)}{1-x^4} = -\frac{3}{4} \ln|1-x^4| + C $$
（11） $$ \int \frac{x+1}{x^2+2x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+5} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2+2x+5| + C $$
（12） $$ \int \cos^2(\omega t+\varphi) \sin(\omega t+\varphi) dt = -\frac{1}{\omega} \int \cos^2(\omega t+\varphi) d(\cos(\omega t+\varphi)) = -\frac{\cos^3(\omega t+\varphi)}{3\omega} + C $$
（13） $$ \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos^3 x} = \frac{1}{2\cos^2 x} + C = \frac{1}{2} \sec^2 x + C $$
（14） $$ \int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} dx = \int (\sin x-\cos x)^{-1/3} d(\sin x-\cos x) = \frac{3}{2} (\sin x-\cos x)^{2/3} + C $$
（15） $$ \int \tan^{10} x \sec^2 x dx = \int \tan^{10} x d(\tan x) = \frac{\tan^{11} x}{11} + C $$
（16） $$ \int \frac{dx}{x \ln x \ln \ln x} = \int \frac{d(\ln \ln x)}{\ln \ln x} = \ln|\ln \ln x| + C $$
（17） $$ \int \frac{dx}{(\arcsin x)^2 \sqrt{1-x^2}} = \int \frac{d(\arcsin x)}{(\arcsin x)^2} = -\frac{1}{\arcsin x} + C $$
（18） $$ \int \frac{10^{2\arccos x}}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int 10^{2\arccos x} d(2\arccos x) = -\frac{10^{2\arccos x}}{2\ln 10} + C $$
（19） $$ \int \tan \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{x dx}{\sqrt{1+x^2}} = \int \tan \sqrt{1+x^2} \, d(\sqrt{1+x^2}) = -\ln|\cos \sqrt{1+x^2}| + C $$
（20） $$ \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} dx = 2 \int \arctan \sqrt{x} \, d(\arctan \sqrt{x}) = (\arctan \sqrt{x})^2 + C $$
（21） $$ \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^2} dx = \int \frac{d(x\ln x)}{(x\ln x)^2} = -\frac{1}{x\ln x} + C $$
（22） $$ \int \frac{dx}{\sin x \cos x} = \int \frac{2}{\sin 2x} dx = \int \csc 2x \, d(2x) = \ln|\tan x| + C $$
（23） $$ \int \frac{\ln \tan x}{\cos x \sin x} dx = \int \ln \tan x \cdot \frac{2}{\sin 2x} dx = \int \ln \tan x \, d(\ln \tan x) = \frac{1}{2} (\ln \tan x)^2 + C $$
（24） $$ \int \cos^3 x dx = \int (1-\sin^2 x) d(\sin x) = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C $$
（25） $$ \int \cos^2(\omega t+\varphi) dt = \int \frac{1+\cos(2\omega t+2\varphi)}{2} dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2\omega t+2\varphi)}{4\omega} + C $$
（26） $$ \int \sin 2x \cos 3x dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x - \sin x) dx = -\frac{\cos 5x}{10} + \frac{\cos x}{2} + C $$
（27） $$ \int \cos x \cos \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int \left( \cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right) dx = \frac{1}{3} \sin \frac{3x}{2} + \sin \frac{x}{2} + C $$
（28） $$ \int \sin 5x \sin 7x dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 12x) dx = \frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 12x}{24} + C $$
（29） $$ \int \tan^3 x \sec x dx = \int (\sec^2 x - 1) \sec x \tan x dx = \int (\sec^2 x - 1) d(\sec x) = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C $$
（30） $$ \int \frac{dx}{e^x+e^{-x}} = \int \frac{e^x dx}{1+e^{2x}} = \arctan(e^x) + C $$
（31） $$ \int \frac{1-x}{\sqrt{9-4x^2}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}} - \int \frac{x dx}{\sqrt{9-4x^2}} $$ 第一项：$\frac{1}{2} \arcsin \frac{2x}{3}$，第二项：$\frac{1}{4} \sqrt{9-4x^2}$，故结果为 $$ \frac{1}{2} \arcsin \frac{2x}{3} + \frac{1}{