📝 题目
1． $\displaystyle{\int} x \sin x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x $$
**步骤1：选择分部积分法** 分部积分公式为： $$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$ 令 $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \sin x \, \mathrm{d}x $$
**步骤2：求微分和积分** $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \int \sin x \, \mathrm{d}x = -\cos x $$
**步骤3：代入分部积分公式** $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x = x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \, \mathrm{d}x $$ $$ = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{d}x $$
**步骤4：计算剩余积分** $$ \int \cos x \, \mathrm{d}x = \sin x + C $$
**步骤5：写出最终结果** $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x + C $$
因此，原积分为： $$ \boxed{-x \cos x + \sin x + C} $$
难度：★☆☆☆☆