📝 题目
12． $\displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t $$
**步骤1：选择分部积分法** 被积函数是 $t$ 与 $\mathrm{e}^{-2t}$ 的乘积，适合分部积分公式： $$ \displaystyle{\int} u \, \mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \, \mathrm{d}u $$
**步骤2：设定 $u$ 和 $\mathrm{d}v$** 令 $$ u = t, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}t, \quad v = \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} $$
**步骤3：代入分部积分公式** $$ \displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t = t \cdot \left( -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} \right) - \displaystyle{\int} \left( -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} \right) \mathrm{d}t $$ 化简得： $$ = -\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-2t} + \frac{1}{2} \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t $$
**步骤4：计算剩余积分** $$ \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} $$ 因此： $$ -\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-2t} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} \right) = -\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-2t} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2t} $$
**步骤5：加上积分常数** $$ \displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} t \mathrm{e}^{-2t} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2t} + C $$
最终结果为： $$ \boxed{-\frac{1}{2} t \mathrm{e}^{-2t} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2t} + C} $$
难度：★☆☆☆☆