📝 题目
14． $\displaystyle{\int} x \sin x \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分： $$ \int x \sin x \cos x \, \mathrm{d}x $$
**第一步：化简被积函数** 利用二倍角公式 $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，则原积分化为： $$ \int x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int x \sin 2x \, \mathrm{d}x $$
**第二步：使用分部积分法** 令 $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \sin 2x \, \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = -\frac{1}{2} \cos 2x $$ 分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$ 给出： $$ \int x \sin 2x \, \mathrm{d}x = x \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) \mathrm{d}x $$ 即 $$ = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, \mathrm{d}x $$
**第三步：计算剩余积分** $$ \int \cos 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \sin 2x $$ 因此 $$ \int x \sin 2x \, \mathrm{d}x = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C $$
**第四步：乘以系数 $\frac{1}{2}$** 原积分结果为： $$ \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \right) + C = -\frac{x}{4} \cos 2x + \frac{1}{8} \sin 2x + C $$
**最终答案** $$ \boxed{-\frac{x}{4}\cos 2x + \frac{1}{8}\sin 2x + C} $$
难度：★☆☆☆☆ （仅需一次化简与一次分部积分，步骤清晰简单）