📝 题目
2． $\displaystyle{\int} \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分 $$ \displaystyle{\int} \ln x \, \mathrm{d}x. $$
**步骤1：选择分部积分法** 令 $$ u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x. $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x, \quad v = x. $$
**步骤2：应用分部积分公式** 分部积分公式为 $$ \displaystyle{\int} u \, \mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \, \mathrm{d}u. $$ 代入得 $$ \displaystyle{\int} \ln x \, \mathrm{d}x = x \ln x - \displaystyle{\int} x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = x \ln x - \displaystyle{\int} 1 \, \mathrm{d}x. $$
**步骤3：计算剩余积分** $$ \displaystyle{\int} 1 \, \mathrm{d}x = x + C, $$ 其中 $C$ 为任意常数。
**步骤4：写出最终结果** $$ \boxed{x \ln x - x + C}. $$
难度评级：★☆☆☆☆ （这是最基础的分部积分例题之一，只需一次分部即可完成。）