📝 题目
21． $\displaystyle{\int}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int (\arcsin x)^2 \, dx $$
**步骤1：换元** 令 $ t = \arcsin x $，则 $ x = \sin t $，且 $ dx = \cos t \, dt $。 于是积分变为： $$ \int t^2 \cos t \, dt $$
**步骤2：分部积分** 设 $ u = t^2 $，$ dv = \cos t \, dt $，则 $ du = 2t \, dt $，$ v = \sin t $。 由分部积分公式： $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ 得： $$ \int t^2 \cos t \, dt = t^2 \sin t - \int \sin t \cdot 2t \, dt = t^2 \sin t - 2 \int t \sin t \, dt $$
**步骤3：再次分部积分** 对 $ \int t \sin t \, dt $，令 $ u = t $，$ dv = \sin t \, dt $，则 $ du = dt $，$ v = -\cos t $。 于是： $$ \int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \int \cos t \, dt = -t \cos t + \sin t + C $$
**步骤4：回代** 因此： $$ \int t^2 \cos t \, dt = t^2 \sin t - 2(-t \cos t + \sin t) + C = t^2 \sin t + 2t \cos t - 2\sin t + C $$
**步骤5：换回原变量** 由于 $ t = \arcsin x $，有： $$ \sin t = x,\quad \cos t = \sqrt{1 - x^2} $$ 所以： $$ \int (\arcsin x)^2 \, dx = x (\arcsin x)^2 + 2 \arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} - 2x + C $$
最终结果为： $$ \boxed{x (\arcsin x)^2 + 2 \sqrt{1 - x^2} \arcsin x - 2x + C} $$
难度：★★☆☆☆