📝 题目
22． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int e^x \sin^2 x \, dx $$
**第一步：利用三角恒等式降幂** 由二倍角公式： $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ 所以原积分化为： $$ \int e^x \sin^2 x \, dx = \frac12 \int e^x (1 - \cos 2x) \, dx = \frac12 \int e^x \, dx - \frac12 \int e^x \cos 2x \, dx $$
**第二步：计算两个部分** 第一部分： $$ \frac12 \int e^x \, dx = \frac12 e^x $$
第二部分需要计算： $$ I = \int e^x \cos 2x \, dx $$ 使用分部积分法（或直接利用公式）。令： $$ u = \cos 2x,\quad dv = e^x dx $$ 则： $$ du = -2\sin 2x \, dx,\quad v = e^x $$ 于是： $$ I = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx $$ 再对 $\int e^x \sin 2x \, dx$ 分部积分，令： $$ u = \sin 2x,\quad dv = e^x dx $$ 则： $$ du = 2\cos 2x \, dx,\quad v = e^x $$ 得到： $$ \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2I $$ 代入上式： $$ I = e^x \cos 2x + 2 \left( e^x \sin 2x - 2I \right) = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4I $$ 移项： $$ 5I = e^x (\cos 2x + 2\sin 2x) $$ 所以： $$ I = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2\sin 2x) $$
**第三步：代回原式** 原积分： $$ \int e^x \sin^2 x \, dx = \frac12 e^x - \frac12 \cdot \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2\sin 2x) + C $$ 整理： $$ = \frac{e^x}{2} - \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2\sin 2x) + C $$ 也可以写成： $$ = \frac{e^x}{10} \left(5 - \cos 2x - 2\sin 2x\right) + C $$
**最终答案**： $$ \boxed{\displaystyle \int e^x \sin^2 x \, dx = \frac{e^x}{10} \left(5 - \cos 2x - 2\sin 2x\right) + C} $$
难度评级：★★☆☆☆ （主要用到三角降幂和两次分部积分，思路清晰，计算稍繁但无难点）