📝 题目
24． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sqrt{3 x+9}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分 $$ \int e^{\sqrt{3x+9}} \, dx. $$
**第一步：换元** 令 $$ t = \sqrt{3x+9}, $$ 则 $$ t^2 = 3x + 9 \quad\Rightarrow\quad 3x = t^2 - 9 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{t^2 - 9}{3}. $$ 对 $x$ 求微分： $$ dx = \frac{2t}{3} \, dt. $$
**第二步：代入积分** 原积分变为 $$ \int e^{t} \cdot \frac{2t}{3} \, dt = \frac{2}{3} \int t e^{t} \, dt. $$
**第三步：分部积分** 令 $$ u = t,\quad dv = e^{t} dt, $$ 则 $$ du = dt,\quad v = e^{t}. $$ 于是 $$ \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C. $$
**第四步：回代** 因此 $$ \frac{2}{3} \int t e^{t} dt = \frac{2}{3} \bigl( t e^{t} - e^{t} \bigr) + C = \frac{2}{3} e^{t} (t - 1) + C. $$ 将 $t = \sqrt{3x+9}$ 代回，得 $$ \int e^{\sqrt{3x+9}} dx = \frac{2}{3} e^{\sqrt{3x+9}} \bigl( \sqrt{3x+9} - 1 \bigr) + C. $$
**最终结果** $$ \boxed{\displaystyle \frac{2}{3} e^{\sqrt{3x+9}} \left( \sqrt{3x+9} - 1 \right) + C} $$
难度：★★☆☆☆